[论文解读] Log-Concave Polynomials IV: Exchange Properties, Tight Mixing Times, and Faster Sampling of Spanning Trees.

Nima Anari, Kuikui Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2020

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 36被引用 10

一句话总结

本文為拟阵基底上的下-上随机游走以及对数凹多项式分布建立了紧致的 $O(k\log k)$ 混合时间界，引入了新颖的近似交换性质。该方法实现了在 $O(n\log^2 n)$ 时间内更快地采样生成树，优于以往的准线性算法，并可扩展至加权图。

ABSTRACT

We prove tight mixing time bounds for natural random walks on bases of matroids, determinantal distributions, and more generally distributions associated with log-concave polynomials. For a matroid of rank $k$ on a ground set of $n$ elements, or more generally distributions associated with log-concave polynomials of homogeneous degree $k$ on $n$ variables, we show that the down-up random walk, started from an arbitrary point in the support, mixes in time $O(k\log k)$. Our bound has no dependence on $n$ or the starting point, unlike the previous analyses [ALOV19, CGM19], and is tight up to constant factors. The main new ingredient is a property we call approximate exchange, a generalization of well-studied exchange properties for matroids and valuated matroids, which may be of independent interest. Additionally, we show how to leverage down-up random walks to approximately sample spanning trees in a graph with $n$ edges in time $O(n\log^2 n)$, improving on the almost-linear time algorithm by Schild [Sch18]. Our analysis works on weighted graphs too, and is the first to achieve nearly-linear running time.

研究动机与目标

• 为拟阵基底以及与对数凹多项式相关的分布上的下-上随机游走建立紧致的混合时间界。
• 提出一种新的结构性质——近似交换，其为经典拟阵交换的推广，并能实现更紧致的分析。
• 改进图中近似采样生成树的运行时间，实现近乎线性 $O(n\log^2 n)$ 时间复杂度。
• 将分析扩展至加权图，提供该场景下的首个近乎线性时间采样算法。

提出的方法

• 将近似交换性质引入为拟阵与赋值拟阵交换的推广，从而实现更紧致的集中不等式界。
• 利用近似交换性质，推导出与 $n$ 和起始点无关的 $O(k\log k)$ 混合时间界。
• 利用紧致的混合时间设计基于下-上随机游走的快速生成树采样算法。
• 将该方法应用于无权图与加权图，同时保持近乎线性时间复杂度。
• 利用次数为 $k$ 的对数凹齐次多项式的结构，统一拟阵与确定点过程的分析框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖 $n$ 和起始点的前提下，对拟阵基底上的下-上随机游走的混合时间进行界定？
• RQ2 何种结构性质可推广经典拟阵交换性质，并实现更紧致的混合时间分析？
• RQ3 能否利用混合时间界实现图中生成树的更快采样？
• RQ4 能否在此框架下将近乎线性时间的生成树采样扩展至加权图？

主要发现

• 拟阵基底或对数凹多项式分布上的下-上随机游走的混合时间为 $O(k\log k)$，且与 $n$ 和起始点无关。
• 引入近似交换性质作为关键结构性工具，使紧致的混合时间界得以实现。
• 混合时间界在常数因子范围内是紧致的，优于以往依赖于 $n$ 或起始点的分析结果。
• 该方法可在 $O(n\log^2 n)$ 时间内实现对 $n$ 条边的图中生成树的近似采样，优于先前的准线性算法。
• 该算法可扩展至加权图，提供该场景下的首个近乎线性时间采样方法。