[论文解读] Long hitting time, slow decay of correlations and arithmetical properties

Stefano Galatolo, Pietro Peterlongo|ArXiv.org|Jan 20, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文构建了一类具有特定Liouville型算术性质的环面平移——其特点是分母相互交错收敛——这些系统违反了命中时间的对数律。研究表明，对于此类系统，log命中时间与-log r之比的liminf发散至无穷大，意味着次多项式混合，且即使经过重参数化以在三元环面上构造混合系统，命中时间与测度之间的典型幂律关系仍被破坏。

ABSTRACT

Let $τ_r(x,x_0)$ be the time needed for a point $x$ to enter for the first time in a ball $B_r(x_0)$ centered in $x_0$, with small radius $r$. We construct a class of translations on the two torus having particular arithmetic properties (Liouville components with intertwined denominators of convergents) not satisfying a logarithm law, i.e. such that for generic $x,x_0$ \liminf_{r o 0} \frac{\log τ_r(x,x_0)}{-\log r} = \infty. By considering a suitable reparametrization of the flow generated by a suspension of this translation, using a previous construction by Fayad, we show the existence of a mixing system on three torus having the same properties. The speed of mixing of this example must be subpolynomial, because we also show that: in a system having polynomial decay of correlations the above ratio of logarithms (which is also called the lower hitting time indicator) is bounded (it is a function of the local dimension and the speed of correlation decay). More generally, this shows that reparametrizations of torus translations having a Liouville component cannot be polynomially mixing.

研究动机与目标

• 构建一类具有特定算术性质的二维环面平移，使其违反命中时间的对数律。
• 证明对于此类系统，log命中时间与-log r之比的liminf发散至无穷大，表明等待时间极长。
• 表明此类系统的重参数化可在三元环面上产生混合系统，且相关性衰减呈次多项式。
• 建立相关性衰减速率与上界命中时间指标之间的一般联系，证明多项式衰减意味着对数比的limsup有界。
• 证明具有Liouville分量的环面平移的重参数化不可能是多项式混合的。

提出的方法

• 在二维环面上构造具有Liouville型无理数的平移，其连分数收敛项分母满足 q′_n ≥ q^γ_n 且 q_{n+1} ≥ (q′_n)^γ，其中 γ > 1。
• 通过恒等式 liminf_r (log τ_r / -log r) = 1 / limsup_n (-log d_n / log n) 建立命中时间 τ_r(x,x₀) 与最小距离 d_n(x,x₀) 之间的关系。
• 应用引理11，将命中时间行为与轨道中距离的衰减速率联系起来，将算术性质转化为动力学行为。
• 使用Fayad的重参数化技术，对平移流进行悬链构造，在三元环面上构造出具有相同命中时间性质的混合系统。
• 建立上界命中时间指标的一般上界，其表达式涉及局部维数与相关性衰减速率，证明多项式衰减意味着对数比的limsup有界。
• 运用丢番图逼近与Borel-Cantelli理论的结果，分析在某些球序列下收缩目标性质的失效。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在环面平移使得 log命中时间与-log r之比的liminf超过局部维数？
• RQ2 旋转向量的何种算术条件会导致命中时间对数律的破坏？
• RQ3 具有次多项式相关性衰减的系统是否仍可为混合系统？
• RQ4 相关性衰减速率如何约束上界命中时间指标？
• RQ5 Liouville型算术性质在多大程度上阻止了重参数化系统中的多项式混合？

主要发现

• 对于旋转向量为 (α, α′) 的二维环面平移，若其收敛项分母满足 q′_n ≥ q^γ_n 且 q_{n+1} ≥ (q′_n)^γ（其中 γ > 1），则有 liminf_{r→0} (log τ_r(x,x₀) / -log r) ≥ γ。
• 这表明系统违反了对数律，因为该liminf超过局部维数 d = 2，且当 γ 取任意大值时，该值发散至无穷大。
• 通过Fayad的重参数化构造，得到一个在三元环面上的混合系统，其继承了相同的命中时间行为，意味着相关性呈次多项式衰减。
• 本文证明，在任何具有多项式相关性衰减的系统中，(log τ_r / -log r) 的limsup 上界由局部维数与衰减速率的函数决定，因此此类系统不可能表现出此处观察到的极端命中时间行为。
• 具有Liouville分量的环面平移的重参数化不可能是多项式混合的，因为此类系统必须具有次多项式相关性衰减。
• 即使测度之和发散，某些收缩目标序列下动力Borel-Cantelli引理的失效仍与观察到的命中时间行为一致。