[论文解读] Long-time behaviour of entropic interpolations

Gauthier Clerc, Giovanni Conforti+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2020

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 33被引用 1

一句话总结

本文研究了在 CD(0, n) 曲率-维数条件下的熵插值——即薛定谔问题的解——的长时间行为。它建立了熵成本和能量的精确渐近界，证明了插值收敛到热流的速率为 log T / T，并推导出费雪信息的 1/T 耗散速率，将已知结果从短时间范围扩展至长时间范围，并在最小曲率假设下提供了显式速率。

ABSTRACT

In this article we investigate entropic interpolations. These measure valued curves describe the optimal solutions of the Schr{\"o}dinger problem [Sch31], which is the problem of finding the most likely evolution of a system of independent Brownian particles conditionally to observations. It is well known that in the short time limit entropic interpolations converge to the McCann-geodesics of optimal transport. Here we focus on the long-time behaviour, proving in particular asymptotic results for the entropic cost and establishing the convergence of entropic interpolations towards the heat equation, which is the gradient flow of the entropy according to the Otto calculus interpretation. Explicit rates are also given assuming the Bakry-{\'E}mery curvature-dimension condition. In this respect, one of the main novelties of our work is that we are able to control the long time behavior of entropic interpolations assuming the CD(0, n) condition only.

研究动机与目标

• 理解熵插值的长时间动力学行为，这些插值是薛定谔问题的解。
• 在 CD(0, n) 条件下量化熵成本和能量的渐近行为，特别是大时间极限下的表现。
• 在时间范围 T → ∞ 的极限下，建立熵插值收敛到熵的梯度流（即热方程）的结论。
• 在最小曲率假设下，推导出收敛和耗散的显式速率，包括 R^n 上布朗运动的情形。

提出的方法

• 使用 Otto 微分几何框架，将薛定谔问题解释为概率测度空间中的梯度流。
• 应用 Bakry-\'Emery 的 CD(0, n) 条件以控制曲率，并推导出描述长时间行为的功能不等式。
• 采用变分法与 PDE 技术分析薛定谔桥方程，推导出成本与能量的渐近展开式。
• 在 R 上的高斯测度情形下，推导出熵插值的显式表达式，从而实现 Wasserstein 距离与收敛速率的精确计算。
• 利用薛定谔问题与最优传输之间的对偶性，将熵成本与熵及费雪信息联系起来。
• 对薛定谔系统解进行长时间渐近分析，特别是在初始与最终测度相同的情形下。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 CD(0, n) 条件下，当 T → ∞ 时，熵成本的行为如何？
• RQ2 当 T → ∞ 时，熵插值收敛到热流的速率是什么？
• RQ3 在 CD(0, n) 条件下，薛定谔桥的能量是否能指数衰减，还是仅能代数衰减？
• RQ4 沿熵插值的费雪信息的长时间耗散速率是多少？
• RQ5 显式例子（如 R 上的高斯分布）如何验证或改进一般渐近界？

主要发现

• 当 T → ∞ 时，熵成本 CT(µ, ν) 的增长速度至多为 C1(µ, ν) + 2n log T，且在 R^n 上已确认其精确性。
• 能量 ET(µ, ν) 满足双侧界 |ET(µ, ν)| ≤ C log T / T，表明其为代数衰减而非指数衰减。
• 熵插值以速率 W2(µT_t, P*t(µ)) ≤ C √(log T / T) 收敛到热流，该速率在某些情况下非最优，但其渐近阶是精确的。
• 费雪信息 IW(µT_θT) 的衰减速率至少为 n/(2Tθ(1−θ))，与热流路径上的已知 1/T 速率一致，且该界是精确的。
• 在 R 上初始与最终均为狄拉克测度的情形下，当 T → ∞ 时，成本满足 CT(x,x) ∼ 2 log T。
• 对于 R 上的两个中心高斯分布，熵插值与热流之间的 Wasserstein 距离以 C / T² 的速率衰减，表明在特定情形下收敛速度超过一般性的 log T / T 速率。