[论文解读] Long-time dynamics of the nonhomogeneous incompressible flow of nematic liquid crystals

Xianpeng Hu, Hao Wu|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 41被引用 4

一句话总结

本文研究了在二维有界区域中非齐次不可压缩向列型液晶流全局强解的长时间行为。它建立了速度场的衰减估计，并在外部力渐近自治的条件下，证明了密度场和取向场收敛到稳态解，通过能量估计和李雅普诺夫型泛函推导出明确的收敛速率。

ABSTRACT

We study the long-time behavior of global strong solutions to a hydrodynamic system for nonhomogeneous incompressible nematic liquid crystal flows driven by two types of external forces in a smooth bounded domain in $\mathbb{R}^2$. For arbitrary large regular initial data with the initial density being away from vacuum, we prove the decay of the velocity field for both cases. Furthermore, for the case with asymptotically autonomous external force, we can prove the convergence of the density function and the director vector as time goes to infinity. Estimates on convergence rate are also provided.

研究动机与目标

• 分析二维非齐次不可压缩向列型液晶流全局强解的长时间动力学行为。
• 研究在一般外力作用下速度场的衰减行为。
• 证明当外力渐近自治时，密度场和取向场收敛到稳态解。
• 利用能量估计和李雅普诺夫泛函推导密度场和取向场的显式收敛速率。

提出的方法

• 构造一个李雅普诺夫型泛函 $ \mathcal{Q}(t) $，结合动能、取向场梯度能量及势能偏差。
• 利用加加里奥-尼伦伯格和拉季亚涅尔型不等式，建立能量与耗散项的统一有界性。
• 对能量-耗散平衡应用格朗沃尔型不等式，获得衰减估计。
• 利用椭圆正则性估计，将取向场的 $ \mathbf{H}^1 $ 收敛性提升至 $ \mathbf{H}^2 $ 正则性。
• 对外力 $ \mathbf{g}(t) $ 施加时间依赖的衰减假设，以控制能量估计中的强迫项。
• 采用改进的能量泛函 $ \mathcal{Q}_1(t) $，结合 $ \mathcal{Q}(t) $ 与耗散项 $ A(t) $，推导出指数衰减速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维有界区域中，当外力为一般形式时，速度场是否随时间趋于无穷而衰减至零？
• RQ2 当外力渐近自治时，密度场与取向场是否收敛至稳态？
• RQ3 速度场、密度场与取向场分别收敛至其极限的速率为何？
• RQ4 衰减速率如何依赖于外力的正则性与衰减速率？
• RQ5 能否通过李雅普诺夫泛函与能量估计对收敛性进行量化？

主要发现

• 在一般外力作用下，速度场满足衰减估计 $ \|v(t)\|_{\mathbf{H}^1} \leq C(1+t)^{-\kappa} $，其中 $ \kappa > 0 $。
• 当外力 $ \mathbf{g}(t) $ 衰减为 $ \|\mathbf{g}(t)\| \leq C(1+t)^{-(1+\xi)} $，且 $ \xi > 0 $ 时，密度场与取向场收敛至稳态解。
• 取向场在 $ \mathbf{H}^1 $ 范数下的收敛速率为 $ \|d(t) - d_\infty\|_{\mathbf{H}^1} \leq C(1+t)^{-\kappa} $，其中 $ \kappa \in (\frac{3}{8}, \frac{1}{2}) $。
• 通过椭圆估计，取向场实现 $ \mathbf{H}^2 $ 正则性，且衰减速率满足 $ \|d(t) - d_\infty\|_{\mathbf{H}^2} \leq C(1+t)^{-\kappa} $。
• 速度场的 $ \mathbf{W}^{2,q} $ 范数在时间上可积，从而在 $ \nabla v $ 适当衰减时，可获得密度场的统一 $ W^{1,r} $ 估计。
• 当 $ \kappa > \frac{3}{2} $ 时，$ \nabla v $ 的 $ \mathbf{L}^\infty $ 范数在时间上可积，从而保证密度场的统一 $ W^{1,r} $ 估计。