[论文解读] Loop coproduct in Morse and Floer homology

Kai Cieliebak, Nancy Hingston+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文通过莫尔斯理论直接构造了闭流形的自由环路空间上同调的环路上积，证明其在余切丛的正辛同调中的延续上积同构。利用带 punctured 的环面的紧化模空间与过滤链同构，作者证明了维特博同构将环路上积与延续上积相互关联，并引入了约化环路同调作为交换、余交换、含单位元的无穷小反对称双代数结构的典范定义域。

ABSTRACT

By a well-known theorem of Viterbo, the symplectic homology of the cotangent bundle of a closed manifold is isomorphic to the homology of its loop space. In this paper we extend the scope of this isomorphism in several directions. First, we give a direct definition of {\em Rabinowitz loop homology} in terms of Morse theory on the loop space and prove that its product agrees with the pair-of-pants product on Rabinowitz Floer homology. The proof uses compactified moduli spaces of punctured annuli. Second, we prove that, when restricted to {\em positive} Floer homology, resp.~loop space homology relative to the constant loops, the Viterbo isomorphism intertwines various constructions of secondary pair-of-pants coproducts with the loop homology coproduct. Third, we introduce {\em reduced loop homology}, which is a common domain of definition for a canonical reduction of the loop product and for extensions of the loop homology coproduct which together define the structure of a commutative cocommutative unital infinitesimal anti-symmetric bialgebra. Along the way, we show that the Abbondandolo-Schwarz quasi-isomorphism going from the Floer complex of quadratic Hamiltonians to the Morse complex of the energy functional can be turned into a filtered chain isomorphism by using linear Hamiltonians and the square root of the energy functional.

研究动机与目标

• 为自由环路空间同调上的环路上积提供一种直接的莫尔斯理论定义。
• 证明在维特博同构下，该环路上积与余切丛正辛同调中的延续上积一致。
• 将约化环路同调定义并研究为含单位元、交换、余交换、无穷小反对称双代数结构的典范定义域。
• 通过线性哈密顿量与能量泛函的平方根，将 Abbondandolo-Schwarz 链 quasi-isomorphism 扩展为过滤链同构。
• 通过涉及欧拉示性数的链映射的锥，建立单位余切丛辛同调的拓扑对应物。

提出的方法

• 使用能量泛函上的莫尔斯理论，在局部系统系数下构造自由环路空间同调上的环路上积。
• 利用带 punctured 的环面的紧化模空间，定义并分析支撑上积的配对裤型运算。
• 将 Rabinowitz 环路同调定义为链映射 ε: MC•(Λ) → MC•(M) → MC•(M) → MC•(Λ) 的锥的同调，其中中间映射为乘以欧拉示性数。
• 证明当使用线性哈密顿量与能量泛函的平方根时，从二次哈密顿量的弗洛尔复形到能量泛函莫尔斯复形的 Abbondandolo-Schwarz 映射成为过滤链同构。
• 利用 [20] 中的 A₂⁺-结构理论，构造弗洛尔复形与莫尔斯复形之间 A₂⁺-结构的 quasi-isomorphism。
• 将约化环路同调定义为 coker(ε)，上同调定义为 ker(ε)，并证明环路积在前者上下降，而上积在后者上提升，系数为域。

实验结果

研究问题

• RQ1 莫尔斯同调中的环路上积能否在不依赖辛拓扑的前提下直接定义？
• RQ2 在维特博同构下，自由环路空间上的环路上积是否同构于余切丛正辛同调中的延续上积？
• RQ3 单位余切丛辛同调的正确拓扑模型是什么，以环路空间同调表达？
• RQ4 如何将 Abbondandolo-Schwarz quasi-isomorphism 升级为过滤链同构？
• RQ5 约化环路同调上出现何种代数结构，其如何统一环路积与上积？

主要发现

• 在域系数下，H•(Λ, Λ₀; η) 上的环路上积通过维特博同构同构于 SH>0•(D*M; ν) 上的延续上积。
• Rabinowitz 环路同调（定义为涉及欧拉示性数的链映射锥的同调）通过环路积自然具备环结构。
• 当 n ≠ 2 时，存在 SH•(S*M) 与 Rabinowitz 环路同调之间的环同构，使得包含 ε、ι、π 的图表可交换。
• 当使用线性哈密顿量与能量泛函的平方根时，Abbondandolo-Schwarz 映射成为过滤链同构。
• 在域系数下，环路上积可提升至约化环路同调，环路积可下降至其上，形成含单位元、交换、余交换、无穷小反对称的双代数结构。
• 当限制于正同调时，维特博同构将 SH>0•(D*M) 上的延续上积与 H•(Λ, Λ₀; η) 上的环路上积相互关联。