[论文解读] Loop Grassmannian cohomology, the principal nilpotent and Kostant theorem

Victor Ginzburg|ArXiv.org|Mar 30, 1998

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文建立了复半单李群 G 的环路格拉斯曼ian与它的朗兰兹对偶的表示理论之间的上同调联系，证明了 D. Peterson 的一个猜想，即通过主幂零元的中心化子来描述环路格拉斯曼ian中 G[[z]]-轨道闭包的上同调代数。此外，本文还利用等变交截上同调的纯性，给出了科斯塔nt定理关于半单李代数多项式代数的一个新的拓扑证明。

ABSTRACT

Given a complex projective algebraic variety, write H(X) for its cohomology with complex coefficients and IH(X) for its Intersection cohomology. We first show that, under some fairly general conditions, the canonical map H(X) o IH(X) is injective. Now let Gr = G((z))/G[[z]] be the loop Grassmannian for a complex semisimple group G, and let X be the closure of a G[[z]]-orbit in Gr. We prove, using the general result above, a conjecture of D. Peterson describing the cohomology algebra H(X) in terms of the centralizer of the principal nilpotent in the Langlands dual of Lie(G). In the last section we give a new "topological" proof of Kostant's theorem about the polynomial algebra of a semisimple Lie algebra, based on purity of the equivariant intersection cohomology groups of G[[z]]-orbits on Gr.

研究动机与目标

• 建立普通上同调到交截上同调的自然映射为单射的条件。
• 证明 D. Peterson 关于环路格拉斯曼ian中 G[[z]]-轨道闭包上同调代数的猜想。
• 为半单李代数的多项式代数提供一个关于科斯塔nt定理的新拓扑证明。
• 通过主幂零元建立环路格拉斯曼ian的几何与表示理论不变量之间的联系。
• 利用等变交截上同调的纯性，推导李理论中的结构性结果。

提出的方法

• 建立普通上同调 H(X) 到交截上同调 IH(X) 的自然映射 H(X) → IH(X) 为单射的一般判别准则。
• 将此准则应用于复半单李群 G 的环路格拉斯曼ian Gr = G((z))/G[[z]] 中的轨道闭包 X。
• 利用朗兰兹对偶李代数中主幂零元的中心化子的结构，来描述上同调代数 H(X)。
• 利用 G[[z]]-轨道上等变交截上同调群的纯性，推导代数性结论。
• 运用代数几何、表示理论和等变上同调的技术，将几何不变量与李理论数据联系起来。
• 利用环路群结构和 Iwahori 子群 G[[z]] 的作用，分析轨道闭包及其上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种一般条件下，普通上同调到交截上同调的自然映射是单射的？
• RQ2 如何用李理论数据来描述环路格拉斯曼ian中 G[[z]]-轨道闭包的上同调代数？
• RQ3 主幂零元在朗兰兹对偶李代数中的中心化子与环路格拉斯曼ian中轨道闭包的上同调之间的确切关系是什么？
• RQ4 环路格拉斯曼ian轨道上等变交截上同调的纯性能否导出李理论中经典定理的新证明？
• RQ5 环路格拉斯曼ian的几何在多大程度上编码了朗兰兹对偶群的表示理论不变量？

主要发现

• 对于包括环路格拉斯曼ian中轨道闭包在内的广泛类复射影代数簇，自然映射 H(X) → IH(X) 是单射的。
• 环路格拉斯曼ian中 G[[z]]-轨道闭包 X 的上同调代数 H(X) 同构于李群 G 的朗兰兹对偶中主幂零元中心化子的不变量代数。
• 本文证实了 D. Peterson 关于环路格拉斯曼ian轨道闭包上同调结构的猜想。
• 通过利用 G[[z]]-轨道上等变交截上同调的纯性，获得了科斯塔nt定理的新的拓扑证明。
• 证明了环路格拉斯曼ian中轨道闭包的上同调同构于主幂零元中心化子不变量上的多项式代数。
• 结果在环路格拉斯曼ian的几何与半单李代数的表示理论之间建立了深刻的联系，通过朗兰兹对偶实现。