[论文解读] Lossless Compression and Complexity of Chaotic Sequences

Nithin Nagaraj, Mathew Shaji Kavalekalam+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2011

Evolutionary Algorithms and Applications参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于非连续递归配对替换（NSRPS）将符号序列缩减为常数所需迭代次数的新型复杂度度量方法，应用于逻辑斯蒂映射和斜帐篷映射的混沌时间序列。该方法在50个样本长度时与李雅普诺夫指数的相关性高达（r > 0.88），优于香农熵估计，且表明NSRPS可压缩标准算法（如WinZip或7-Zip）无法压缩的混沌序列。

ABSTRACT

We investigate the complexity of short symbolic sequences of chaotic dynamical systems by using lossless compression algorithms. In particular, we study Non-Sequential Recursive Pair Substitution (NSRPS), a lossless compression algorithm first proposed by W. Ebeling et al. [Math. Biosc. 52, 1980] and Jiménez-Montaño et al. [arXiv:cond-mat/0204134, 2002]) which was subsequently shown to be optimal. NSPRS has also been used to estimate Entropy of written English (P. Grassberger [arXiv:physics/0207023, 2002]). We propose a new measure of complexity - defined as the number of iterations of NSRPS required to transform the input sequence into a constant sequence. We test this measure on symbolic sequences of the Logistic map for various values of the bifurcation parameter. The proposed measure of complexity is easy to compute and is observed to be highly correlated with the Lyapunov exponent of the original non-linear time series, even for very short symbolic sequences (as short as 50 samples). Finally, we construct symbolic sequences from the Skew-Tent map which are incompressible by popular compression algorithms like WinZip, WinRAR and 7-Zip, but compressible by NSRPS.

研究动机与目标

• 开发一种针对混沌动力系统中短符号序列的鲁棒且计算简单的复杂度度量方法。
• 解决在具有噪声和有限长度的短非独立同分布时间序列中，香农熵估计方法的局限性。
• 评估通过NSRPS实现的无损压缩是否能捕捉传统熵度量失效时的动力学复杂性。
• 证明某些混沌序列虽无法被标准算法压缩，但可通过NSRPS实现压缩。

提出的方法

• 所提出的复杂度度量定义为NSRPS将符号序列缩减为单一常数符号所需的迭代次数（N）。
• NSRPS迭代应用：相邻符号对根据频率和重复性被替换为新符号，采用非连续配对选择以避免偏差。
• 该方法使用来自逻辑斯蒂映射和斜帐篷映射的混沌时间序列的符号表示，对实值时间序列应用分箱处理。
• 通过标准公式数值计算李雅普诺夫指数，涉及映射的逻辑斯蒂函数的导数。
• 使用标准工具（WinZip、WinRAR、7-Zip）评估压缩性能，并与NSRPS压缩后的大小进行比较。
• 在不同分岔参数和序列长度下，量化N与李雅普诺夫指数之间的相关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 NSRPS迭代次数能否作为混沌系统中短符号序列的可靠且计算高效的复杂度度量？
• RQ2 在逻辑斯蒂映射的不同分岔参数下，所提出的基于NSRPS的复杂度度量与李雅普诺夫指数的相关性如何？
• RQ3 是否存在标准无损压缩算法无法压缩但可通过NSRPS压缩的混沌序列？
• RQ4 在数据量有限的短序列中，该新复杂度度量与香农熵估计相比表现如何？
• RQ5 当时间序列受到噪声污染时，该新度量是否仍具鲁棒性？

主要发现

• 基于NSRPS迭代次数（N）的所提复杂度度量在50个样本长度时与李雅普诺夫指数的相关性极高（r = 0.8870）。
• 对于2个分箱和L=50的情况，N与λ之间的相关系数达到0.6651，显著优于香农熵估计（在L=5000时相关系数仅为0.3565）。
• NSRPS成功将1024个样本的斜帐篷映射（a=0.65）符号序列压缩至912比特，而WinZip、WinRAR和7-Zip均导致数据膨胀（1376–1816比特）。
• 即使符号序列呈均匀分布（如具有均匀不变测度的斜帐篷映射），该度量仍有效，表明其对符号频率之外的结构敏感。
• 该方法对短数据长度具有鲁棒性，相关性随序列变长仅略有提升，表明其适用于真实世界中的生物或实验时间序列。
• 结果表明，NSRPS可检测到传统基于Lempel-Ziv的算法在熵达到最大时所遗漏的混沌序列中的结构模式。