[论文解读] Lossless convexification of non-convex optimal control problems with disjoint semi-continuous inputs

Danylo Malyuta, Michael Szmuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对具有不相交半连续输入的混合整数最优控制问题的无损凸化方法——其中输入范数要么为零，要么在有界区间内。通过将非凸问题松弛为凸的二阶锥规划（SOCP），该方法在多项式时间内保证全局最优解，计算时间相比混合整数规划在航天器对接示例中快了近三个数量级。

ABSTRACT

This paper presents a convex optimization-based method for finding the globally optimal solutions of a class of mixed-integer non-convex optimal control problems. We consider problems that are non-convex in the input norm, which is a semi-continuous variable that can be zero or lower- and upper-bounded. Using lossless convexification, the non-convex problem is relaxed to a convex problem whose optimal solution is proved to be optimal almost everywhere for the original problem. The relaxed problem can be solved using second-order cone programming, which is a subclass of convex optimization for which there exist numerically reliable solvers with convergence guarantees and polynomial time complexity. This is the first lossless convexification result for mixed-integer optimization problems. An example of spacecraft docking with a rotating space station corroborates the effectiveness of the approach and features a computation time almost three orders of magnitude shorter than a mixed-integer programming formulation.

研究动机与目标

• 解决混合整数非凸最优控制问题的计算不可行性，这些问题属于NP难问题，对实时应用而言计算速度过慢。
• 克服混合整数规划（MICP）在处理多个非同时激活输入及半连续范数问题时的局限性。
• 开发一种基于凸优化的方法，无需分支定界或迭代局部求解器，即可保证全局最优性。
• 通过确保多项式时间收敛，实现对自主系统（如航天器和火箭）的机载实时优化。
• 将无损凸化方法从单输入、非凸问题扩展到具有不相交输入激活约束的多输入、混合整数设置。

提出的方法

• 通过约束 $ az \leq x \leq bz $ 使用二值变量 $ z \in \{0,1\} $ 对半连续输入范数进行建模，以表示输入的开启/关闭行为。
• 通过引入松弛变量，将非凸混合整数问题松弛为凸的二阶锥规划（SOCP），同时保持最优性条件。
• 证明松弛凸问题的最优解在几乎处处意义下对原始非凸问题也是全局最优的，基于必要最优性条件。
• 通过利用输入增益结构和先导向量动力学，确保解满足原始非凸约束。
• 使用欧几里得投影和锥包分析来表征可行输入集，并根据增益大小强制执行输入激活规则。
• 通过SOCP求解器（如ECOS）实现该方法，具有多项式时间复杂度，实现快速收敛和实时可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 无损凸化能否扩展至处理具有半连续输入范数的多输入最优控制问题？
• RQ2 混合整数非凸最优控制问题的凸松弛是否能保持原始问题的全局最优性？
• RQ3 所提出的方法能否实现原本NP难问题的多项式时间解复杂度？
• RQ4 在实际航空航天控制问题中，与混合整数规划相比，该方法在求解时间和最优性方面表现如何？
• RQ5 在半连续约束下，最优输入策略的结构是什么？能否进行解析表征？

主要发现

• 所提出的方法在多项式时间内以全局最优解求解了一类混合整数非凸最优控制问题，表明此类问题实际上属于P复杂度类。
• 在旋转空间站的航天器对接问题中，该方法使用SOCP在20秒内获得全局最优解，而混合整数规划则耗时6200秒。
• 最优输入范数表现出打桩-打桩结构，即在任意时刻仅激活增益值最高的输入，与理论预测一致。
• 在切换边缘处观察到推力大小的离散化伪影，但这些现象与“几乎处处”最优性保证一致，不影响全局最优性。
• 该方法对输入集的不相交性和非重叠指向方向具有鲁棒性，如在多台推进器的航天器对接示例中所展示。
• 解满足所有约束条件，包括输入边界和状态动力学，且对偶变量历史记录证实了最优输入激活模式。