[论文解读] Low-degree testing for quantum states

Anand Natarajan, Thomas Vidick|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2018

Quantum Information and Cryptography被引用 3

一句话总结

本文提出了一类单轮两玩家量子博弈 $G_n$，其通信量为多对数级别，能够稳健地认证 $n$-qudit 量子纠缠，采用量子化的 Raz-Safra 低次多项式测试方法。该方法在纠缠认证规模上实现了指数级改进，仅当策略接近理想纠缠态的局部等距变换时，才能获得近乎完美的获胜概率，从而推动了 QMA-难问题与量子 PCP 理论的新进展。

ABSTRACT

For any integer $n\geq 2$ we construct a one-round two-player game $G_n$, with communication that scales poly-logarithmically with $n$, having the following properties. First, there exists an entangled strategy that wins with probability $1$ in $G_n$ and in which the players' outcomes are determined by performing generalized Pauli measurements on their respective share of an $n$-qudit maximally entangled state, with qudits of local dimension $q = \mathrm{poly}\log(n)$. Second, any strategy that succeeds with probability at least $1-\varepsilon$ in $G_n$ must be within distance $O((\log n)^c\varepsilon^{1/d})$, for universal constants $c,d\geq 1$, of the perfect strategy, up to local isometries. This is an exponential improvement on the size of any previously known game certifying $\Omega(n)$ qudits of entanglement with comparable robustness guarantees. The construction of the game $G_n$ is based on the classical test for low-degree polynomials of Raz and Safra, which we extend to the quantum regime. Combining this game with a variant of the sum-check protocol, we obtain the following consequences. First, we show that is QMA-hard, under randomized reductions, to approximate up to a constant factor the maximum acceptance probability of a multiround, multiplayer entangled game with $\mathrm{poly}\log(n)$ bits of classical communication. Second, we give a quasipolynomial reduction from the multiplayer games quantum PCP conjecture to the constraint satisfaction quantum PCP conjecture. Third, we design a multiplayer protocol with polylogarithmic communication and constant completeness-soundness gap for deciding the minimal energy of a class of frustration-free nonlocal Hamiltonians up to inverse polynomial accuracy.

研究动机与目标

• 构建一种量子博弈，以最小通信量稳健认证大规模量子纠缠。
• 将 Raz 与 Safra 的经典低次多项式测试扩展至量子领域，用于量子纠缠认证。
• 建立近似量子博弈接受概率的复杂性理论新结果。
• 通过准多项式归约，连接多玩家博弈量子 PCP 猜想与约束满足问题量子 PCP 猜想。
• 设计一种低通信协议，以反多项式精度近似无 frustration 的非局域哈密顿量的基态能量。

提出的方法

• 利用维度为 $q = \mathrm{poly}\log(n)$ 的 $n$-qudit 最大纠缠态上的广义泡利测量，构造单轮两玩家博弈 $G_n$。
• 将经典 Raz-Safra 低次多项式测试扩展至量子设置，构建有限域上低次多项式检测的量子测试。
• 将博弈 $G_n$ 用作稳健的量子纠缠判别器，确保任何获胜概率为 $1 - \varepsilon$ 的策略，必在局部等距变换下与理想策略保持 $O((\log n)^c \varepsilon^{1/d})$ 的距离。
• 结合一种变体的 sum-check 协议，实现对量子证明的验证与能量估计。
• 将该框架应用于证明：在随机化归约下，近似多玩家纠缠博弈的最大接受概率为 QMA-难问题，即使在 $\mathrm{poly}\log(n)$ 的经典通信量下亦成立。
• 建立从多玩家博弈量子 PCP 猜想到约束满足问题量子 PCP 猜想的准多项式归约。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种通信量为多对数级别的量子博弈，能够以强可靠性保证稳健认证 $\Omega(n)$ 个 qudit 的量子纠缠？
• RQ2 如何将 Raz 与 Safra 的经典低次多项式测试扩展至量子领域，以实现量子纠缠认证？
• RQ3 此类稳健的量子测试对量子证明系统在复杂性理论上的后果为何？
• RQ4 此类博弈是否可用于低通信量下，以反多项式精度近似无 frustration 的非局域哈密顿量的基态能量？
• RQ5 在准多项式归约下，多玩家博弈量子 PCP 猜想与约束满足问题量子 PCP 猜想之间存在何种关系？

主要发现

• 博弈 $G_n$ 的可靠性界为 $O((\log n)^c \varepsilon^{1/d})$，其中 $c,d \geq 1$ 为绝对常数，确保任何获胜概率为 $1 - \varepsilon$ 的策略，必在局部等距变换下接近理想策略。
• 该构造在与先前具有类似鲁棒性的博弈相比，实现了纠缠认证规模的指数级提升。
• 即使在 $\mathrm{poly}\log(n)$ 的经典通信量下，该博弈在随机化归约下近似最大接受概率仍为 QMA-难问题，且近似因子为常数。
• 已建立从多玩家博弈量子 PCP 猜想到约束满足问题量子 PCP 猜想的准多项式归约。
• 设计了一类多玩家协议，其通信量为多对数级别，且完整性-可靠性间隙为常数，可实现对无 frustration 非局域哈密顿量最小能量的反多项式精度估计。