[论文解读] Lower Bounds for XOR of Forrelations

Uma Girish, Ran Raz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2020

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过傅里叶分析，为 k 个独立 Forrelation 函数的异或（XOR）建立了紧致的下界，表明任何在第 2k 层傅里叶质量有界的经典协议或电路，其计算 XOR 的优势均不超过 O(αk / N^{k/2})。该结果在通信复杂性和查询复杂性中实现了新的量子-经典分离，且优势呈指数级缩小，突破了以往与 1/√N 相关系数阈值相关的限制。

ABSTRACT

The Forrelation problem, introduced by Aaronson [A10] and Aaronson and Ambainis [AA15], is a well studied problem in the context of separating quantum and classical models. Variants of this problem were used to give exponential separations between quantum and classical query complexity [A10, AA15]; quantum query complexity and bounded-depth circuits [RT19]; and quantum and classical communication complexity [GRT19]. In all these separations, the lower bound for the classical model only holds when the advantage of the protocol (over a random guess) is more than $\approx 1/\sqrt{N}$, that is, the success probability is larger than $\approx 1/2 + 1/\sqrt{N}$. To achieve separations when the classical protocol has smaller advantage, we study in this work the XOR of $k$ independent copies of the Forrelation function (where $k\ll N$). We prove a very general result that shows that any family of Boolean functions that is closed under restrictions, whose Fourier mass at level $2k$ is bounded by $α^k$, cannot compute the XOR of $k$ independent copies of the Forrelation function with advantage better than $O\left(\frac{α^k}{N^{k/2}} ight)$. This is a strengthening of a result of [CHLT19], that gave a similar result for $k=1$, using the technique of [RT19]. As an application of our result, we give the first example of a partial Boolean function that can be computed by a simultaneous-message quantum protocol of cost $\mbox{polylog}(N)$ (when players share $\mbox{polylog}(N)$ EPR pairs), however, any classical interactive randomized protocol of cost at most $ ilde{o}(N^{1/4})$, has quasipolynomially small advantage over a random guess. We also give the first example of a partial Boolean function that has a quantum query algorithm of cost $\mbox{polylog}(N)$, and such that, any constant-depth circuit of quasipolynomial size has quasipolynomially small advantage over a random guess.

研究动机与目标

• 克服经典协议在 Forrelation 相关问题中 1/√N 优势的障碍。
• 为计算 k 个独立 Forrelation 函数异或的成功概率建立通用下界框架。
• 将先前基于傅里叶的下界从第 2 层扩展至第 2k 层，适用于在限制下封闭的布尔函数族。
• 在通信复杂性和查询复杂性中实现分离，使得经典模型相对于随机猜测的优势仅为拟多项式级别。
• 提供首个具有多项式对数代价的量子协议示例，其与通信量为 ˜o(N^{1/4}) 的经典协议实现分离。

提出的方法

• 使用傅里叶分析，限制布尔函数中第 2k 层傅里叶系数的贡献。
• 应用 k 个独立随机游走的乘积（每个 Forrelation 复本对应一个）来建模 XOR 函数的分布。
• 建立通用下界：任何在限制下封闭且第 2k 层傅里叶质量 ≤ αk 的函数族，无法以超过 O(αk / N^{k/2}) 的优势计算 XOR。
• 改编 [RT19] 和 [CHLT19] 的技术，并将其扩展至更高阶傅里叶系数。
• 引入一种扩展协议（extl(C)），以处理通信复杂性证明中的小矩形约束。
• 通过 [Tal19] 和 [GRT19] 的结果，对 AC0 电路和通信协议的第 2k 层傅里叶质量进行有界，从而应用主定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 当经典优势低于 1/√N 时，能否为 k 个 Forrelation 函数的异或证明下界？
• RQ2 为使函数族能以非可忽略的优势计算 k 个 Forrelation 函数的异或，其最小第 2k 层傅里叶质量是多少？
• RQ3 能否实现经典协议优势仅为拟多项式级别而非多项式级别的量子-经典分离？
• RQ4 用于第 2 层系数的傅里叶技术是否可推广至更高阶如 2k 层？
• RQ5 能否构造出具有多项式对数量子代价和拟多项式经典代价的显式部分布尔函数示例？

主要发现

• 若第 2k 层傅里叶质量被限制在 αk 以内，则任何经典协议或电路计算 k 个独立 Forrelation 函数异或的优势均不超过 O(αk / N^{k/2})。
• 在通信复杂性中，任何通信量为 o(N^{1/4}) 的随机化协议，对 k 个 Forrelations 异或的优势至多为 exp(−Ω(k))，即远低于随机猜测。
• 在有界深度电路中，任何大小为 o(exp(N^{1/(4(d−1))})) 的 AC0 电路，在计算 k 个 Forrelations 异或时的优势至多为 exp(−Ω(k))。
• 该结果首次在通信复杂性中实现了经典优势为拟多项式级别的量子-经典分离。
• 在查询复杂性中，存在一个部分布尔函数，可由使用 polylog(N) 次查询的量子算法计算，但任何大小为拟多项式且优势优于拟多项式级别的常数深度电路均无法计算。
• 主定理将 k=1 时的先前结果推广至一般 k，从而在多种计算模型中实现了更强的分离。