[论文解读] Lower bounds for rainbow Tur\'{a}n numbers of paths and other trees

Daniel Johnston, Puck Rombach|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文建立了彩虹Turán数 $ ex^*(n, F) $ 的新下界，表明对于任意包含 $ k \geq 3 $ 条边的路径 $ P_k $，有 $ ex^*(n, P_k) \geq \frac{k}{2}n + O(1) $，推广了先前的结果。作者使用结构化的边染色图——特别是 $ D_{2^s}^* $，即完全图 $ K_{2^s}^* $ 的子图，其颜色基于汉明距离——构造出不含彩虹 $ P_k $ 的稠密边染色图，并将该方法扩展至撑叉树及其他小直径的叶状树。

ABSTRACT

For a fixed graph $F$, we would like to determine the maximum number of edges in a properly edge-colored graph on $n$ vertices which does not contain a rainbow copy of $F$, that is, a copy of $F$ all of whose edges receive a different color. This maximum, denoted by $ex^*(n, F)$, is the rainbow Tur\\'{a}n number of $F$. We show that $ex^*(n,P_k)\\geq \\frac{k}{2}n + O(1)$ where $P_k$ is a path on $k\\geq 3$ edges, generalizing a result by Maamoun and Meyniel and by Johnston, Palmer and Sarkar. We show similar bounds for brooms on $2^s-1$ edges and diameter $\\leq 10$ and a few other caterpillars of small diameter.

研究动机与目标

• 将已知的下界 $ ex^*(n, P_k) = \frac{k}{2}n + O(1) $ 从 $ k \in \{3,4\} $ 推广至所有 $ k \geq 3 $，从而对彩虹Turán极值图的结构有更广泛的理解。
• 通过构造避免彩虹拷贝的边染色图，将该方法推广至路径以外的其他树，特别是撑叉树和小直径的叶状树。
• 研究在避免特定树的彩虹拷贝的正常边染色图中，极值边密度的性质，从而为二分图及森林类图的彩虹Turán问题做出贡献。
• 探索代数与组合构造——特别是基于 $ \mathbb{F}_2^s $ 构造的 $ D_{2^s}^* $——作为生成彩虹Turán理论中极值例子的工具的实用性。

提出的方法

• 在 $ 2^s $ 个顶点上构造边染色完全图 $ K_{2^s}^* $，其中每条边 $ vw $ 的颜色为向量 $ v - w \in \mathbb{F}_2^s $，形成正常边染色。
• 将子图 $ D_{2^s}^* $ 定义为 $ K_{2^s}^* $ 的生成子图，仅包含端点间汉明距离为 1 或 $ s $ 的边，确保其为 $ (s+1) $-正则且正常边染色。
• 利用 $ D_{2^s}^* $ 构造，通过计数这些图中的彩虹路径与圈，推导 $ ex^*(n, F) $ 的下界，利用其对称性与受控的颜色分布。
• 应用计数论证，估算 $ D_{2^s}^* $ 中彩虹 $ P_k $、$ C_k $ 及其他树的彩虹拷贝数量，表明当 $ k = 2^s - 1 $ 时，彩虹 $ C_k $ 拷贝的数量为 $ \Omega(k^{\ell-1}n) $，其中 $ \ell \ll k $。
• 将路径构造推广至撑叉树 $ B_{k,l} $ 和叶状树 $ CP_{(s_1,\dots,s_t)} $，表明当 $ k = 2^s - 1 $ 时，基于 $ D_{2^s}^* $ 的构造可避免彩虹拷贝。
• 使用极值图论工具，包括平均度论证与路径扩展引理（例如，若一个顶点是长度为 $ k $ 的最大彩虹路径的端点，则其度数至多为 $ 2k-2 $），以限制彩虹路径数量并验证极值性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将下界 $ ex^*(n, P_k) \geq \frac{k}{2}n + O(1) $ 从 $ k = 3,4 $ 推广至所有 $ k \geq 3 $，且该界是否紧？
• RQ2 基于 $ D_{2^s}^* $ 的构造（源自 $ \mathbb{F}_2^s $）是否能为避免其他树（如撑叉树与小直径叶状树）的彩虹拷贝提供极值例子？
• RQ3 在正常边染色图中，路径 $ P_k $ 是否是最容易避免的树（即最小化 $ ex^*(n, F) $），还是存在彩虹Turán数更小的其他树？
• RQ4 当 $ k = 2^s - 1 $ 时，$ K_{2^s}^* $ 中彩虹 $ C_k $ 拷贝的最大数量是多少？与 $ D_{2^s}^* $ 中的数量相比如何？
• RQ5 除了 $ D_{2^s}^* $ 外，$ K_{2^s}^* $ 是否存在其他子图，能高效避免特定树（如 $ t $-蜘蛛或其它叶状树）的彩虹拷贝？

主要发现

• 本文为所有 $ k \geq 3 $ 建立了通用下界 $ ex^*(n, P_k) \geq \frac{k}{2}n + O(1) $，推广了此前仅对 $ k = 3,4 $ 已知的结果。
• 对于边数为 $ k = 2^s - 1 $、直径不超过 10 的撑叉树 $ B_{k,l} $，构造 $ D_{2^s}^* $ 给出 $ ex^*(n, B_{k,l}) \geq \frac{k}{2}n + O(1) $，表明其与路径具有相似的极值行为。
• 对于边数为 $ k = 2^s - 1 $、小直径的叶状树 $ CP_{(s_1,\dots,s_t)} $，相同构造给出 $ ex^*(n, F) \geq \frac{k}{2}n + O(1) $，表明此类树在稠密边染色图中也可被避免。
• $ D_{2^s}^* $ 中 $ C_k $ 的彩虹拷贝数量（当 $ k = 2^s - 1 $ 时）至少为 $ \frac{k(k-1)}{6}n + O(1) $，且更一般地为 $ \Omega(k^{\ell-1}n) $（当 $ \ell \ll k $ 时），表明其具有丰富的彩虹圈结构。
• 证明了构造 $ D_{2^s}^* $ 对于 $ k = 2^s - 1 $ 是 $ C_k $-自由的，因此可作为避免彩虹 $ P_k $ 的有效极值例子，确认其在极值构造中的实用性。
• 本文表明，$ D_{2^s}^* $ 是一个在 $ 2^s $ 个顶点上具有 $ (s+1) $-正则性的图，当 $ k = 2^s - 1 $ 时可避免彩虹 $ P_k $，且其边密度足以实现下界 $ \frac{k}{2}n + O(1) $。