[论文解读] Lower Bounds on Sparse Spanners, Emulators, and Diameter-reducing shortcuts

Shang-En Huang, Seth Pettie|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文证明了Thorup-Zwick针对无权图的次线性加法聚集体在本质上是最优的(β, ϵ)-hopset，实现了在hopbound β与大小O(n^{1+1/(2k+1−1)})之间的最佳已知权衡。通过对其构造进行微小修改，作者将大小减少了k倍，与Abboud、Bodwin和Pettie的下界相匹配，并进一步提升了聚集体与spanner的稀疏性。

ABSTRACT

A $(β,ε)$-$ extit{hopset}$ is, informally, a weighted edge set that, when added to a graph, allows one to get from point $a$ to point $b$ using a path with at most $β$ edges ("hops") and length $(1+ε)\mathrm{dist}(a,b)$. In this paper we observe that Thorup and Zwick's $ extit{sublinear additive}$ emulators are also actually $(O(k/ε)^k,ε)$-hopsets for every $ε>0$, and that with a small change to the Thorup-Zwick construction, the size of the hopset can be made $O(n^{1+\frac{1}{2^{k+1}-1}})$. As corollaries, we also shave "$k$" factors off the size of Thorup and Zwick's sublinear additive emulators and the sparsest known $(1+ε,O(k/ε)^{k-1})$-spanners, due to Abboud, Bodwin, and Pettie.

研究动机与目标

• 证明Thorup-Zwick的次线性加法聚集体在作为(β, ϵ)-hopset时具有普遍最优性。
• 通过将大小减少k倍，改进(1+ϵ, β)-spanner与次线性加法聚集体的稀疏性。
• 弥合已知上界与hopset构造下界之间的差距。
• 证明hopset构造无需复杂化，仅通过现有优雅构造的简单修改即可实现。

提出的方法

• 通过使用概率qi的分层顶点采样，将Thorup-Zwick聚集体构造适配为(β, ϵ)-hopset。
• 将hopset边Ei定义为每个顶点v ∈ Vi \ Vi+1到B(v)中顶点以及到pi+1(v)的连接，边权等于其最短路径距离。
• 通过设置qi = n^{-(2i−1)/(2k+1−1)} · 2^{-(2i−i+1)}，实现层大小几何递减，以控制期望大小。
• 使用参数r = ⌈4k/ϵ′⌉和µ = d/r^k的递归分析，以界定加法拉伸与hopbound。
• 运用鸽巢原理论证，在最短路径中，多跳与单跳段的数量受限。
• 证明在hk < 2(r+1)^k跳内，图G∪H中的距离至多为原始距离的(1+ϵ)倍，从而实现(β, ϵ)-hopset性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Thorup-Zwick聚集体构造重新用于最优的(β, ϵ)-hopset？
• RQ2 在保持最优拉伸与hopbound的前提下，Thorup-Zwick聚集体的大小能否减少k倍？
• RQ3 修改后的构造是否达到了Abboud、Bodwin与Pettie建立的hopset大小下界？
• RQ4 该方法能否扩展以改进(1+ϵ, β)-spanner与次线性加法聚集体的稀疏性？
• RQ5 是否存在一种简单、优雅的构造方法，可实现最优hopset，避免先前方法的复杂性？

主要发现

• 无权图的Thorup-Zwick聚集体是大小为O(n^{1+1/(2k+1−1)})、β = O((k/ϵ)^k)的(β, ϵ)-hopset，与Abboud-Bodwin-Pettie的下界完全匹配。
• 通过微调采样概率，hopset大小减少至O(n^{1+1/(2k+1−1)})，相比原始Thorup-Zwick构造减少了k倍。
• 次线性加法聚集体的大小被改进为O(n^{1+1/(2k+1−1)})，拉伸函数为f(d) = d + (4+o(1))kd^{1−1/k}。
• (1+ϵ, β)-spanner的大小被改进为O((k/ϵ)^h n^{1+1/(2k+1−1)})，其中h = (3·2^{k−1} − (k+2))/(2^{k+1}−1) < 3/4。
• 当k = log log n − O(1)时，hopset大小变为线性O(n)，且β = O((k/ϵ)^k)，实现近乎最优的稀疏性。
• 该构造在大小为n^{1+1/(2k+1−1)−δ}时，对hopbound的下界为Ω(ck/ϵ^{k+1})，从而证明了其最优性。