[论文解读] LP-Based Algorithms for Capacitated Facility Location

Hyung-Chan An, Mohit Singh+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新型线性规划松弛，其整数性间隙为常数，解决了长期存在的开放问题。通过利用多商品流和分数匹配结构，作者设计了一种 LP 舍入算法，实现了常数因子近似，使得强大的基于 LP 的技术能够应用于此前仅依赖局部搜索的问题。

ABSTRACT

Linear programming has played a key role in the study of algorithms for combinatorial optimization problems. In the field of approximation algorithms, this is well illustrated by the uncapacitated facility location problem. A variety of algorithmic methodologies, such as LP-rounding and primal-dual method, have been applied to and evolved from algorithms for this problem. Unfortunately, this collection of powerful algorithmic techniques had not yet been applicable to the more general capacitated facility location problem. In fact, all of the known algorithms with good performance guarantees were based on a single technique, local search, and no linear programming relaxation was known to efficiently approximate the problem. In this paper, we present a linear programming relaxation with constant integrality gap for capacitated facility location. We demonstrate that the fundamental theories of multi-commodity flows and matchings provide key insights that lead to the strong relaxation. Our algorithmic proof of integrality gap is obtained by finally accessing the rich toolbox of LP-based methodologies: we present a constant factor approximation algorithm based on LP-rounding.

研究动机与目标

• 为 Williamson 和 Shmoys 教材中的开放问题 5 提供基于 LP 方法的容量限制设施选址问题的常数因子近似。
• 为容量限制设施选址问题设计一个具有常数整数性间隙的强线性规划松弛。
• 将基于 LP 的算法技术（如 LP 舍入和原始-对偶方法）的适用范围扩展到此前难以应用这些方法的容量限制变体。
• 证明多商品流和分数匹配结构可为 NP 难组合优化问题提供强大松弛。

提出的方法

• 作者基于多商品流公式提出了一种新的 LP 松弛 MFN-LP，通过流路径建模客户分配。
• 在客户与设施之间的二分图上定义了一个分数匹配 $ g^\star $，以捕捉部分分配和容量约束。
• 从分数匹配构建残差网络 $ H $，以识别未饱和客户和可达设施，从而确定关键子集 $ I_H $ 和 $ D_H $。
• 在修改后的网络上计算一个可行流 $ f $，以指导舍入过程，确保容量和分配约束得到满足。
• 舍入过程将 $ \hat{y}_i = 1 $ 设置为属于 $ I $ 的设施，将 $ \hat{y}_i = 2y^\star_i $ 设置为属于 $ S $ 的设施，并通过基于流的比例分配客户 $ \hat{x}_{ij} = d_j \cdot h(i,j)/h(S,j) $。
• 该算法验证了可行性，并通过与 LP 最优值比较总成本，证明总成本与 LP 值的比值至多为 8 倍。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为容量限制设施选址问题构造一个具有常数整数性间隙的线性规划松弛？
• RQ2 能否利用多商品流和分数匹配结构，为该问题设计一个强大且算法上有用的 LP 松弛？
• RQ3 能否通过 LP 舍入而非仅依赖局部搜索，实现容量限制设施选址问题的常数因子近似？
• RQ4 为何先前的 LP 松弛无法关闭该问题的整数性间隙？缺少了哪些结构洞察？

主要发现

• 所提出的 MFN-LP 松弛具有常数整数性间隙，解决了 Williamson 和 Shmoys 教材中开放问题 5。
• LP 舍入算法生成的可行解的代价至多为最优 LP 值的 8 倍，从而实现了常数因子近似。
• 该方法成功结合多商品流与分数匹配，以一种可实现舍入的方式建模容量与分配约束。
• 该算法在多项式时间内运行，并为每个实例提供了比局部搜索最坏情况界更紧的性能保证。
• 该方法表明，基于 LP 的技术可被推广至容量限制设施选址问题，从而可推广至相关问题。
• 结果表明，Sherali-Adams 层次结构和标准 LP 公式不足以实现常数整数性间隙，但新公式克服了这一局限。