[论文解读] Lp expander Complexes

Amitay Kamber|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2016

Graph theory and applications参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文通过Iwahori-Hecke代数的表示理论，将展开图和Ramanujan图统一推广到高维建筑物中的$L_p$-展开复形。它建立了这些复形上组合算子的显式谱隙，并推广了Ihara zeta函数，证明了复形是Ramanujan当且仅当其zeta函数满足黎曼假设。

ABSTRACT

We discuss two combinatorical ways of generalizing the definition of expander graphs and Ramanujan graphs, to quotients of buildings of higher dimension. The two possible definitions are equivalent for affine buildings, giving the notion of an Lp-expander complex. We calculate explicit spectral gaps on many combinatorical operators, on any Lp-expander complex. We associate with any complex a natural "zeta function", generalizing the Ihara-Hashimoto zeta function of a finite graph. We generalize a well known theorem of Hashimoto, showing that a complex is Ramanujan if and only if the zeta function satisfies the Riemann hypothesis.

研究动机与目标

• 通过表示理论将展开图和Ramanujan图推广到高维单纯复形。
• 通过$L^2(\Gamma\backslash G)$中矩阵系数的$p$-适度性定义$L_p$-展开复形，推广$p=2$的情形。
• 建立$L_p$-展开复形上组合算子的显式谱隙。
• 定义一个推广Ihara-Hashimoto zeta函数的zeta函数，并证明其满足黎曼假设当且仅当复形是Ramanujan。
• 证明关于具有局部域上半单群且具有(T)性质的建筑物的商复形是$L_p$-展开者，推广了Margulis的构造。

提出的方法

• 使用仿射建筑物上的$W$-度量来定义房间之间的距离，并定义球面对称算子$\rho_{C_0}$。
• 通过条件定义$L_p$-展开复形：所有$L_2^0$函数的拉回属于$L_{p+\epsilon}(B_\phi)$对所有$\epsilon > 0$成立，推广Ramanujan图。
• 应用由算子$h_w$生成的Iwahori-Hecke代数$H_\phi$，这些算子计数距离为$w$的房间，满足标准Hecke关系。
• 使用Hölder不等式和对$\alpha_{\cdot,\cdot}$与$Q_{\beta'}$系数的组合界，推导$h_\beta$的$L_p$算子范数界。
• 通过将Ihara-Hashimoto zeta函数推广到高维，为复形构造一个zeta函数。
• 使用谱论和表示论工具，证明复形是Ramanujan当且仅当其zeta函数满足黎曼假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过表示理论标准将Ramanujan图的概念推广到高维复形？
• RQ2 与具有(T)性质的局部域上半单群相关的仿射建筑物的商复形是否满足$p > 2$的$L_p$-展开性？
• RQ3 是否存在一个高维zeta函数，推广Ihara-Hashimoto zeta函数，并且当且仅当复形是Ramanujan时满足黎曼假设？
• RQ4 在$L_p$-展开复形上，组合算子的显式谱隙是什么？
• RQ5 表示的$p$-适度性与建筑物商复形中$L_p$-展开性质之间有何关系？

主要发现

• 每个与非阿基米德局部域上$k$-秩$\geq 2$的半单群相关的建筑物的有限商复形$X$都是$L_{p_0}$-展开者，其中$p_0$依赖于仿射Coxeter类型。
• 对于$\tilde{A}_n$，$\|h_\beta\|_p$的谱隙界为$\left|W_0\right| \cdot |2q_{\text{max}}|^{l(\tilde{w}_0)} \cdot (l(\beta)+1)^{l(\tilde{w}_0)} \cdot q_\beta^{(p-1)/p}$。
• $L_p$-展开复形的zeta函数满足黎曼假设当且仅当复形是Ramanujan。
• $L_2$-展开条件（即Ramanujan性质）等价于对所有$\epsilon > 0$的$L_{2+\epsilon}$-展开，推广了经典定义。
• $L_p$-展开条件等价于$L^2(\Gamma\backslash G)$中所有具有Iwahori固定向量的子表示的$p$-适度性。
• $h_\beta$的谱隙界对所有房间和颜色都一致，使得能够分析顶点以外的高维面。