[论文解读] LP Relaxation and Tree Packing for Minimum $k$-cuts

Chandra Chekuri, Kent Quanrud+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于对偶性的新分析方法，用于最小 $k$-cut 问题的 LP 松弛，表明其对偶问题可导出一种树打包，从而将 Karger 的最小割分析推广至 $k$-cuts。关键贡献在于证明了 $2(1-1/n)$ 的整数规划间隙，并通过最优 LP 解与递归树打包之间的清晰联系，使 Thorup 算法的运行速度提升了 $n$ 倍。

ABSTRACT

Karger used spanning tree packings to derive a near linear-time randomized algorithm for the global minimum cut problem as well as a bound on the number of approximate minimum cuts. This is a different approach from his well-known random contraction algorithm. Thorup developed a fast deterministic algorithm for the minimum $k$-cut problem via greedy recursive tree packings. In this paper we revisit properties of an LP relaxation for $k$-cut proposed by Naor and Rabani, and analyzed by Chekuri, Guha and Naor. We show that the dual of the LP yields a tree packing, that when combined with an upper bound on the integrality gap for the LP, easily and transparently extends Karger's analysis for mincut to the $k$-cut problem. In addition to the simplicity of the algorithm and its analysis, this allows us to improve the running time of Thorup's algorithm by a factor of $n$. We also improve the bound on the number of $α$-approximate $k$-cuts. Second, we give a simple proof that the integrality gap of the LP is $2(1-1/n)$. Third, we show that an optimum solution to the LP relaxation, for all values of $k$, is fully determined by the principal sequence of partitions of the input graph. This allows us to relate the LP relaxation to the Lagrangian relaxation approach of Barahona and Ravi and Sinha; it also shows that the idealized recursive tree packing considered by Thorup gives an optimum dual solution to the LP. This work arose from an effort to understand and simplify the results of Thorup.

研究动机与目标

• 通过将其与已知的 LP 松弛联系起来，简化并阐明 Thorup 关于 $k$-cut 问题的复杂树打包算法。
• 建立 $k$-cut LP 对偶与树打包之间的透明对偶关系，将 Karger 的最小割分析推广至 $k$-cut 场景。
• 利用新的对偶性洞察，将 Thorup 的确定性 $k$-cut 算法的运行时间提升 $n$ 倍。
• 证明 Naor-Rabani LP 松弛的整数规划间隙恰好为 $2(1 - 1/n)$，与已知的近似界一致。
• 表明 $k$-cut LP 的最优解完全由图的主序列划分决定，从而将其与拉格朗日松弛及递归分解联系起来。

提出的方法

• 重新表述 $k$-cut LP 松弛并分析其对偶问题，证明可行的对偶解对应于图中的树打包。
• 通过图的主序列划分构造一种理想化的递归树打包，进而构造对偶解。
• 证明该对偶解的目标值与 LP 值一致，利用互补松弛条件确立最优性。
• 利用对偶树打包来界定 $2(1-1/n)$-近似 $k$-割的数量，将 Karger 的分析推广至 $k$-cuts。
• 证明贪心树打包可近似理想对偶解，从而通过乘法权重更新原理实现更快速的算法。
• 通过主序列划分证明拉格朗日松弛与 LP 松弛的最优值相同，从而建立二者等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $k$-cut LP 松弛的对偶问题解释为树打包？这与 Karger 的最小割分析有何关联？
• RQ2 Naor-Rabani LP 松弛在 $k$-cut 问题中的整数规划间隙是否精确为 $2(1 - 1/n)$？能否通过对偶性清晰地证明？
• RQ3 $k$-cut LP 的最优解如何与图的主序列划分相关联？
• RQ4 能否通过将 Thorup 的树打包算法与 LP 对偶及树打包联系起来，实现其简化与加速？
• RQ5 Thorup 算法中使用的贪心树打包是否等价于通过乘法权重更新近似对偶 LP？

主要发现

• 该 $k$-cut LP 的对偶问题可导出可行的树打包，且该打包可用于将 Karger 的最小割分析推广至 $k$-cut 问题。
• Naor-Rabani LP 松弛在 $k$-cut 问题中的整数规划间隙恰好为 $2(1 - 1/n)$，该结论通过对偶性与互补松弛条件得以证明。
• 该 $k$-cut LP 的最优解完全由输入图的主序列划分决定。
• 最优对偶解对应于一种理想的递归树打包，其结构与 Thorup 算法中使用的结构一致。
• 通过新的基于对偶性的分析，可使 Thorup 的确定性 $k$-cut 算法的运行时间提升 $n$ 倍。
• $k$-cut 问题的拉格朗日松弛值与 LP 松弛值相等，证实了两种已知近似方法之间的等价性。