[论文解读] Lyapunov exponents of the SHE for general initial data

Promit Ghosal, Yier Lin|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 43被引用 11

一句话总结

本文为具有广义初值（包括有界正初值和平稳初值）的随机热方程（SHE）提供了李雅普诺夫指数的精确公式，并推导了KPZ方程对应的尾部大偏差率函数。关键结果表明，对于一大类初值，p阶矩李雅普诺夫指数恰好为 (p³−p)/24，大偏差率恰好为 −(4√2/3)s³/²。

ABSTRACT

We consider the $(1+1)$-dimensional stochastic heat equation (SHE) with multiplicative white noise and the Cole-Hopf solution of the Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) equation. We show an exact way of computing the Lyapunov exponents of the SHE for a large class of initial data which includes any bounded deterministic positive initial data and the stationary initial data. As a consequence, we derive exact formulas for the upper tail large deviation rate functions of the KPZ equation for general initial data.

研究动机与目标

• 计算满足广义初值条件的 (1+1) 维随机热方程（SHE）的李雅普诺夫指数。
• 在广义初值条件下，推导科尔-霍普夫解的KPZ方程的上尾大偏差率函数。
• 为SHE的正实数李雅普诺夫指数建立精确公式，此前对于广义初值条件下的情况尚不明确。
• 将SHE的李雅普诺夫指数与KPZ大偏差率函数的Legendre-Fenchel对偶联系起来。
• 通过验证偏差大小与典型波动尺度 t¹/³ 一致，验证大偏差标度的合理性。

提出的方法

• 将SHE的p阶矩李雅普诺夫指数定义为当 t→∞ 时，(1/t)log𝔼[(𝑍ᶠ(t,0))ᵖ] 的极限。
• 利用科尔-霍普夫变换将KPZ方程与SHE联系起来，其中 ℋᶠ(t,x) = log𝑍ᶠ(t,x)。
• 应用Legendre-Fenchel对偶性，将SHE的李雅普诺夫指数与KPZ方程的大偏差率联系起来。
• 建立初值f的局部振荡与次指数增长的统一有界性，以确保解的存在性与正则性。
• 通过矩生成函数估计与变分界控制SHE解的p阶矩增长。
• 利用SHE的时间反演与平移不变性，将一般初值条件下的解与狄拉克函数初值解联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足次指数增长与有界局部振荡的广义初值，SHE的p阶矩李雅普诺夫指数的精确值是什么？
• RQ2 对于此类初值，KPZ方程的上尾大偏差概率在时间上的标度如何？
• RQ3 为何大偏差速度为 t 阶？这与KPZ方程典型的 t¹/³ 波动尺度有何关联？
• RQ4 对于广义初值，李雅普诺夫指数与KPZ大偏差率之间的Legendre-Fenchel对偶关系能否显式计算？
• RQ5 初值需满足何种条件，才能保证李雅普诺夫指数与大偏差率的存在性与收敛性？

主要发现

• 对于任意 p>0 及满足次指数增长与有界局部振荡的初值f，SHE的p阶矩李雅普诺夫指数恰好为 (p³−p)/24。
• KPZ方程的上尾大偏差率函数对所有 s>0 恰好为 −(4√2/3)s³/²。
• 该结果适用于一大类物理上相关的初值，包括有界正函数与具有指数矩的平稳初值。
• 只要满足增长与振荡条件，李雅普诺夫指数与具体初值无关，表明其具有普适性。
• 大偏差速度为 t，与 t¹/³ 波动尺度一致，确认该区域确为大偏差区域。
• 推导依赖于精确的矩估计与变分界，解决了KPZ理论中关于广义初值条件下长期存在的开放问题。