[论文解读] $M$-fractional derivative with classical properties

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 3被引用 2

一句话总结

本文引入了一种 $M$-分数阶导数 $\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$，通过引入参数为 $M$ 的Mittag-Leffler函数，对Katugampola的替代分数阶导数进行了推广。该导数满足经典微积分的性质，如线性性、乘积法则和链式法则，并在 $\alpha = 1$ 且 $M = 1$ 时还原为普通导数。其主要贡献在于将罗尔定理、中值定理以及分部积分公式推广至该分数阶框架。

ABSTRACT

We introduce a new fractional derivative that generalizes the so-called alternative fractional derivative recently proposed by Katugampola. We denote this new differential operator by $\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta }$, where the parameter $\alpha$, associated with the order, is such that $0 0$ and $M$ is used to denote that the function to be derived involves a Mittag-Leffler function with one parameter. This new derivative satisfies some properties of integer-order calculus, e.g. linearity, product rule, quotient rule, function composition and the chain rule. Besides as in the case of the Caputo derivative, the derivative of a constant is zero. Because Mittag-Leffler function is a natural generalization of the exponential function, we can extend some of the classical results of integer-order calculus, namely: Rolle's theorem, the mean value theorem and its extension. Further, when the order of the derivative is $\alpha=1$ and the parameter of the Mittag-Leffler function is also unitary, our definition is equivalent to the definition of the ordinary derivative of order one. Finally, we present the corresponding fractional integral from which, as a natural consequence, new results emerge which can be interpreted as applications. Specifically, we generalize the inversion property of the fundamental theorem of calculus and prove a theorem associated with the classical integration by parts.

研究动机与目标

• 通过引入涉及Mittag-Leffler函数的新算子，推广Katugampola的替代分数阶导数。
• 建立一种保持整数阶微积分基本性质（如线性性、乘积法则和链式法则）的分数阶导数。
• 利用新导数将经典定理——罗尔定理与中值定理——推广至分数阶设置。
• 证明当 $\alpha = 1$ 且 $M = 1$ 时，该导数退化为普通导数，确保与标准微积分的一致性。
• 推导相应的分数阶积分，并证明广义的微积分基本定理与分部积分公式的推广形式。

提出的方法

• 通过一个参数为 $M$ 的Mittag-Leffler函数定义 $M$-分数阶导数 $\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$，其中 $M$ 表示该函数的参数。
• 通过证明线性性、乘积法则、商法则和链式法则的类比，建立该导数的性质。
• 证明常数的导数为零，与Caputo导数一致。
• 利用Mittag-Leffler函数对指数函数的推广，将罗尔定理与中值定理等经典定理推广至分数阶情形。
• 推导相应的分数阶积分，并证明其可逆性，推广微积分基本定理。
• 基于新导数与积分框架，证明广义的分部积分公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种新的分数阶导数，使其同时推广Caputo与Katugampola导数，并保持经典微积分的性质？
• RQ2 所提出的 $M$-分数阶导数是否满足经典乘积法则、商法则与链式法则？
• RQ3 能否利用该新导数将罗尔定理与中值定理推广至分数阶情形？
• RQ4 当 $\alpha = 1$ 且 $M = 1$ 时，$M$-分数阶导数会发生什么变化——它是否退化为普通导数？
• RQ5 在该新分数阶微积分框架下，微积分基本定理与分部积分公式能否被广义化？

主要发现

• $M$-分数阶导数 $\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$ 满足线性性，确保标量乘法与加法的保持。
• 该导数遵循乘积法则、商法则与链式法则，与经典微积分中的形式一致。
• 常数的导数为零，与Caputo导数及经典预期一致。
• 当 $\alpha = 1$ 且 $M = 1$ 时，$M$-分数阶导数精确退化为一阶普通导数。
• 在新导数下，广义的罗尔定理与中值定理成立，将经典结果推广至分数阶情形。
• 推导出相应的分数阶积分，其可逆性推广了微积分基本定理，同时证明了广义的分部积分公式。