[论文解读] Macdonald formula for curves with planar singularities

Davesh Maulik, Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文通过利用紧化雅可比簇上的 perverse 膜滤子，将麦克唐纳关于光滑曲线的 Hilbert 模式上同调公式的结论推广到具有平面奇点的积分射影曲线。关键结果建立了 Hilbert 模式上同调的生成函数与基于紧化雅可比簇上同调的分次部分构造的 zeta 函数之间的同构关系，将 Weil 猜想的部分内容推广至奇异曲线。

ABSTRACT

We generalize Macdonald's formula for the cohomology of Hilbert schemes of points on a curve from smooth curves to curves with planar singularities: we relate the cohomology of the Hilbert schemes to the cohomology of the compactified Jacobian of the curve. The new formula is a consequence of a stronger identity between certain perverse sheaves defined by a family of curves satisfying mild conditions. The proof makes an essential use of Ngo's support theorem for compactified Jacobians and generalizes this theorem to the relative Hilbert scheme of such families. As a consequence, we generalize part of the Weil conjectures to the Hilbert-zeta function of curves with planar singularities.

研究动机与目标

• 将麦克唐纳关于光滑曲线上对称积的上同调公式，通过使用 Hilbert 模式而非对称幂，推广至具有平面奇点的曲线。
• 在奇异曲线的紧化雅可比簇上同调上定义并刻画一个规范的 perverse 膜滤子。
• 在 Hilbert 模式的上同调与基于紧化雅可比簇的滤子上同调构造的 zeta 函数之间建立生成函数恒等式。
• 将 Weil 猜想的部分内容推广至具有平面奇点的曲线的 Hilbert-zeta 函数，定义于有限域上。

提出的方法

• 将奇异曲线嵌入满足公理 (A1)-(A3) 的曲线族中，确保相对 Hilbert 模式和紧化雅可比簇在上同调运算下行为良好。
• 使用 Ngô 的紧化雅可比簇支撑定理，并将其推广至相对 Hilbert 模式，以确立 perverse 膜滤子的存在性及其对族选择的独立性。
• 通过族的紧化雅可比簇的直接像复形，定义 $P_{\leq i}$ 在 $\textup{H}^{*}(\overline{\textup{Jac}}(C))$ 上的 perverse 膜滤子，归一化使其在 $0 \leq i \leq 2g_a$ 之外为零。
• 将上同调 zeta 函数 $Z_P(t,C)$ 构造为有理函数，其分子由滤子上同调的分次部分给出，分母为 $(1 - \mathbb{Q}_\ell t)(1 - \mathbb{Q}_\ell[-2](-1)t)$。
• 通过 Hilbert 模式的乘积公式和虚拟 Poincaré 多项式，证明主恒等式 $\bigoplus_{n \geq 0} \textup{H}^{*}(\textup{Hilb}^n(C)) t^n \cong Z_P(t,C)$。
• 通过分析平面奇点的点状 Hilbert 模式并将其虚拟 Poincaré 多项式与约化紧化 Picard 模式在格 $\Lambda$ 下的上同调联系起来，建立局部版本。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将麦克唐纳关于光滑曲线的公式推广至具有平面奇点的曲线？
• RQ2 在紧化雅可比簇上，应使用何种正确的上同调不变量来控制奇异曲线上点的 Hilbert 模式上同调？
• RQ3 具有平面奇点的奇异曲线的 Hilbert-zeta 函数是否满足类似于 Weil 猜想的函数方程和有理函数性质？
• RQ4 能否规范地定义紧化雅可比簇上同调上的 perverse 膜滤子，并证明其对嵌入族的选择无关？
• RQ5 点状 Hilbert 模式的虚拟 Poincaré 多项式与平面奇点的紧化 Picard 模式的上同调之间的确切关系为何？

主要发现

• 对于具有平面奇点的曲线 $C$，Hilbert 模式 $\textup{Hilb}^n(C)$ 的上同调同构于所有满足 $i,j \geq 0$ 且 $i+j \leq n$ 的 $i$-阶分次部分的直和，该部分为 $\textup{H}^{*}(\overline{\textup{Jac}}(C))$ 上 perverse 膜滤子的第 $i$ 个分次部分，经 $[-2j]$ 平移并乘以 $(-j)$。
• 生成函数 $\bigoplus_{n \geq 0} \textup{H}^{*}(\textup{Hilb}^n(C)) t^n$ 同构于由紧化雅可比簇的滤子上同调构造的 zeta 函数 $Z_P(t,C)$。
• 对于特征大于最大奇点重数的 $\mathbb{F}_q$ 上的具有平面奇点的曲线，Hilbert-zeta 函数 $Z_{\textup{Hilb}}(t,C/\mathbb{F}_q)$ 为有理函数，形式为 $P(t)/((1-t)(1-qt))$，其中 $P(t)$ 的次数为 $2g_a$。
• Hilbert-zeta 函数满足函数方程 $Z_{\textup{Hilb}}(t,C/\mathbb{F}_q) = (qt^2)^{g_a - 1} Z_{\textup{Hilb}}(q^{-1}t^{-1}, C/\mathbb{F}_q)$，推广了光滑曲线的 Weil 猜想。
• 在局部情形下，点状 Hilbert 模式的虚拟 Poincaré 多项式满足 $\sum_n P^{\textup{vir}}(\textup{Hilb}^n(\widehat{\mathcal{O}}),s) t^n = \frac{\sum_i P^{\textup{vir}}(\text{Gr}^P_i \textup{H}^*(\overline{\text{Pic}}^{\text{red}}(\widehat{\mathcal{O}})/\Lambda), s) t^i}{(1-t)^r}$，其中 $r$ 为局部分支数。
• 紧化雅可比簇上同调 $\textup{H}^*(\overline{\text{Jac}}(C))$ 上的 perverse 膜滤子对用于定义它的族的选择是独立的，该结论通过与权重滤子的严格相容性及紧化雅可比簇的结构得以证明。