[论文解读] Machine-Learning Number Fields

Yang‐Hui He, Kyu‐Hwan Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2020

Computational Physics and Python Applications参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文表明，机器学习——特别是随机森林和逻辑回归分类器——可以利用 zeta 系数数据，以高精度预测代数数域的关键不变量。在训练集为判别式小于一百万的实二次域的 zeta 系数后，随机森林分类器在区分类数为 1 和类数为 2 时达到 96% 的精确度，并在判别式高达三百万的域上推广至 91% 的精确度，表明其在数论中具有启发式发现的潜力。

ABSTRACT

We show that standard machine-learning algorithms may be trained to predict certain invariants of algebraic number fields to high accuracy. A random-forest classifier that is trained on finitely many Dedekind zeta coefficients is able to distinguish between real quadratic fields with class number 1 and 2, to 0.96 precision. Furthermore, the classifier is able to extrapolate to fields with discriminant outside the range of the training data. When trained on the coefficients of defining polynomials for Galois extensions of degrees 2, 6, and 8, a logistic regression classifier can distinguish between Galois groups and predict the ranks of unit groups with precision >0.97.

研究动机与目标

• 探究机器学习是否能够预测代数数域的基本不变量，如类数、伽罗瓦群和单位群秩。
• 评估不同数据表示方式（定义多项式、zeta 系数和分裂素数）作为机器学习模型输入时的性能。
• 确定训练后的模型是否能外推至训练数据判别式范围之外的数域，从而可能为数论中的开放问题提供启示。
• 探索机器学习是否能揭示类数中的模式，特别是针对尚未被证明存在无穷多个类数为 1 的实二次域的情形。

提出的方法

• 在实二次域的 Dedekind zeta 函数的 1000 个 zeta 系数上训练随机森林分类器，以预测类数（1 与 2）。
• 使用逻辑回归模型，基于定义多项式的系数，预测二次、六次和八次扩张中的伽罗瓦群与单位群秩。
• 采用编码完全分裂素数的二值向量来训练分类器，但除检测扩张次数外，性能普遍较差。
• 通过在判别式位于训练范围内外的数域测试集上评估精确度与置信度分数，来衡量模型性能。
• 利用来自 LMFDB（L 函数与模形式数据库）的数据集，涵盖实二次域、双二次域和六次伽罗瓦扩张。
• 比较不同数据模态（zeta 系数、多项式系数和分裂素数指示器）在预测伽罗瓦群与单位群秩方面的模型性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用 zeta 系数数据，通过机器学习准确预测实二次域的类数？
• RQ2 训练后的模型是否能推广至训练数据判别式范围之外的数域？其泛化能力如何？
• RQ3 在预测伽罗瓦群与单位群秩方面，zeta 系数、定义多项式与分裂素数这三种数据表示方式的有效性如何？
• RQ4 机器学习能否检测到类数被 3 整除的模式？其表现是否优于随机猜测？
• RQ5 模型的决策标准是否能为实二次域中是否存在无穷多个类数为 1 的域这一开放问题提供启示？

主要发现

• 在判别式小于一百万的实二次域的 zeta 系数上训练的随机森林分类器，在区分类数为 1 与类数为 2 时达到 96% 的精确度。
• 在判别式介于一百万到三百万之间的域上进行测试时，同一分类器的精确度仍保持在 91%，显示出强大的外推能力。
• 对于八次伽罗瓦扩张，使用 zeta 系数数据的逻辑回归分类器在区分伽罗瓦群与预测单位群秩方面精确度超过 97%。
• 在双二次四次域中，逻辑回归模型在分类类数为 1 与 2 时达到 81.9% 的精确度，但受数据集规模限制，性能受限。
• 对于六次 S₃-扩张，任何分类器在七类类数分类中的精确度均未超过 38%，即使在 1 与 2 的二分类中，最高精确度也仅为 60.5%。
• 模型在类数被 3 整除的预测上表现接近随机（约 51%），表明其难以学习此类数论模式。