[论文解读] Machine-Learning the Sato--Tate Conjecture

Yang‐Hui He, Kyu‐Hwan Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2020

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文将贝叶斯机器学习应用于仅使用其L-函数中少量归一化欧拉因子的超椭圆曲线的Sato–Tate群分类。该方法在标准笔记本电脑上不到一秒内即可实现对椭圆曲线和亏格2曲线的通用与非通用Sato–Tate群分类，准确率达99–100%，在数据效率方面优于传统的矩基方法。

ABSTRACT

We apply some of the latest techniques from machine-learning to the arithmetic of hyperelliptic curves. More precisely we show that, with impressive accuracy and confidence (between 99 and 100 percent precision), and in very short time (matter of seconds on an ordinary laptop), a Bayesian classifier can distinguish between Sato-Tate groups given a small number of Euler factors for the L-function. Our observations are in keeping with the Sato-Tate conjecture for curves of low genus. For elliptic curves, this amounts to distinguishing generic curves (with Sato-Tate group SU(2)) from those with complex multiplication. In genus 2, a principal component analysis is observed to separate the generic Sato-Tate group USp(4) from the non-generic groups. Furthermore in this case, for which there are many more non-generic possibilities than in the case of elliptic curves, we demonstrate an accurate characterisation of several Sato-Tate groups with the same identity component. Throughout, our observations are verified using known results from the literature and the data available in the LMFDB. The results in this paper suggest that a machine can be trained to learn the Sato-Tate distributions and may be able to classify curves much more efficiently than the methods available in the literature.

研究动机与目标

• 开发一种数据驱动的机器学习方法，用于分类超椭圆曲线的Sato–Tate群，特别是亏格1和亏格2曲线。
• 与依赖大样本量的传统矩基方法相比，降低Sato–Tate群识别的数据需求。
• 验证利用机器学习从欧拉因子数据中学习并预测Sato–Tate分布的可行性。
• 证明在随机矩阵系综上训练的分类器能够推广到LMFDB中的真实曲线数据，尤其是稀有Sato–Tate群。
• 探索机器学习在自动加速数论中算术对象分类方面的潜力。

提出的方法

• 在来自LMFDB和随机矩阵系综的亏格1和亏格2曲线的归一化欧拉因子系数（a₁,p, a₂,p）上训练贝叶斯分类器。
• 对于稀有的Sato–Tate群，通过对应于每个Sato–Tate群的哈尔测度的随机矩阵生成合成训练数据。
• 分类器仅使用前200个素数的归一化欧拉系数作为输入，避免使用矩统计量。
• 通过逐步增加训练中使用的系数对数量，进行学习曲线分析以评估数据效率。
• 对亏格2中通用（USp(4)）与非通用Sato–Tate群之间的分离性进行主成分分析可视化。
• 通过将预测结果与LMFDB中已知的Sato–Tate群对比，并使用混淆矩阵进行多分类评估，验证方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅使用少量欧拉因子，机器学习模型能否准确分类亏格1和亏格2曲线的Sato–Tate群？
• RQ2 基于欧拉因子的贝叶斯分类器在数据效率和准确率方面与传统矩基方法相比如何？
• RQ3 在随机矩阵系综上训练的模型能否推广到LMFDB中的真实曲线，尤其是稀有Sato–Tate群？
• RQ4 机器学习在多大程度上能够区分共享相同恒等连通分支的Sato–Tate群，例如亏格2中的J(En)群？
• RQ5 分类器能否在极少训练数据下实现高精度和高置信度？可靠分类需要多少个欧拉因子？

主要发现

• 贝叶斯分类器仅使用20–30组欧拉因子系数对，即实现了100%准确率，成功区分了非通用Sato–Tate群N(G₁,₃)和N(G₃,₃)。
• 在J(En)群（n ∈ {1,2,3,4,6}）的五分类任务中，分类器达到98.59%的准确率和0.9814的置信度，71个测试样本中仅有一例误分类。
• 学习曲线显示，准确率在约10组系数对时超过90%，在30组对时达到100%，表明模型在极小数据量下快速收敛。
• 该方法优于传统矩基方法，后者需N ≈ 2²⁰才能实现0.1%的误差，而分类器仅需N ≈ 2¹⁰即可达到高准确率。
• 主成分分析成功将亏格2中的通用Sato–Tate群USp(4)与非通用群区分开来，证实了该方法的判别能力。
• 结果表明，机器学习可被训练以学习Sato–Tate分布，并比现有文献方法更高效地对曲线进行分类。