[论文解读] Mackey functors on compact closed categories

Ross Street, Elango Panchadcharam|ArXiv.org|Jun 20, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文利用富集范畴理论，将Mackey函子推广至紧闭范畴，证明在左扩张范畴 𝔈 上的Mackey函子范畴是张量范畴，且其幺半元为Green函子。核心贡献在于通过其模范畴的Cauchy完备化，对Green函子的Morita等价性给出刻画，为群论中数值恒等式的结构类比提供了范畴论基础。

ABSTRACT

We develop and extend the theory of Mackey functors as an application of enriched category theory. We define Mackey functors on a lextensive category $\E$ and investigate the properties of the category of Mackey functors on $\E$. We show that it is a monoidal category and the monoids are Green functors. Mackey functors are seen as providing a setting in which mere numerical equations occurring in the theory of groups can be given a structural foundation. We obtain an explicit description of the objects of the Cauchy completion of a monoidal functor and apply this to examine Morita equivalence of Green functors.

研究动机与目标

• 通过富集范畴理论，将Mackey函子的范畴推广至群表示理论之外的范畴。
• 通过将Mackey函子与Green函子嵌入紧闭范畴的框架，统一并简化其理论。
• 通过将群论中的数值恒等式解释为范畴同构，为群论中的结构恒等式提供基础。
• 通过其模范畴的Cauchy完备化，刻画Green函子的Morita等价性。

提出的方法

• 将Mackey函子定义为从左扩张范畴 𝔈 中的跨度范畴到 k-模范畴的加法函子。
• 利用Day的卷积构造，为Mackey函子范畴赋予张量结构。
• 证明有限维Mackey函子范畴是 *-自伴的，推广了紧闭范畴的星自伴结构。
• 应用广义中心构造，解释Dress构造在何种条件下产生Green函子。
• 利用富集范畴理论定义Green函子上的模及其Cauchy完备化。
• 通过 [Da4] 和 [Li2] 的结果，利用Cauchy模范畴的等价性刻画Morita等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过范畴论系统地将Mackey函子推广至有限群之外？
• RQ2 Mackey函子范畴的张量结构是什么？它与Mackey代数构造有何关系？
• RQ3 在何种条件下Dress构造会产生Green函子？如何通过范畴中心解释这一现象？
• RQ4 如何通过范畴完备化刻画Green函子的Morita等价性？
• RQ5 紧闭范畴在为群论中数值恒等式提供结构基础方面起到何种作用？

主要发现

• 在左扩张范畴 𝔈 上的Mackey函子范畴是张量范畴，其卷积积与标准Mackey函子张量积一致。
• Green函子被识别为在卷积积下Mackey函子范畴中的幺半元。
• 有限维Mackey函子范畴是 *-自伴的，推广了紧闭范畴的星自伴结构。
• Green函子 A 与 B 的Morita等价性，等价于其Cauchy完备化 Q(A) 与 Q(B) 作为 W-范畴的等价性。
• 单峰函子的Cauchy完备化被显式描述，从而实现了对模范畴及其等价性的范畴分析。