[论文解读] Maclaurin series expansions for powers of inverse (hyperbolic) sine, for powers of inverse (hyperbolic) tangent, and for incomplete gamma functions, with applications to second kind Bell polynomials and generalized logsine function

Bai‐Ni Guo, Dongkyu Lim+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2021

Advanced Mathematical Identities参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文推导了反（双曲）正弦和正切函数幂次的显式Maclaurin级数展开式，以及与不完全伽马函数复合的情形，采用第一类Stirling数和二项式系数。利用这些展开式，得到了第二类Bell多项式特殊值的闭式表达式，并给出了广义logsine函数的级数表示，统一并简化了已知的组合恒等式。

ABSTRACT

In the paper, the authors establish nice Maclaurin series expansions and series identities for powers of the inverse sine function, for powers of the inverse hyperbolic sine function, for composites of incomplete gamma functions with the inverse hyperbolic sine function, for powers of the inverse tangent function, and for powers of the inverse hyperbolic tangent function, in terms of the first kind Stirling numbers, binomial coefficients, and multiple sums, apply the nice Maclaurin series expansion for powers of the inverse sine function to derive an explicit formula for special values of the second kind Bell polynomials and to derive a series representation of the generalized logsine function, and deduce several combinatorial identities involving the first kind Stirling numbers. Some of these results simplify and unify some known ones.

研究动机与目标

• 建立反（双曲）正弦和正切函数幂次的新型Maclaurin级数展开式。
• 推导不完全伽马函数与反双曲正弦函数复合的级数表示。
• 将这些展开式应用于显式计算第二类Bell多项式的特殊值。
• 利用推导出的展开式提供广义logsine函数的级数表示。
• 推导并统一涉及第一类Stirling数的组合恒等式。

提出的方法

• 使用第一类Stirling数和二项式系数，推导(arcsin x)^m和(arcsinh x)^m的Maclaurin级数。
• 将(arcsin x)^m的级数展开应用于以闭式表达第二类Bell多项式的特殊值。
• 采用相同的展开框架，推导广义logsine函数的级数表示。
• 通过构造包含Stirling数和二项式系数的多重和，表示与不完全伽马函数复合的函数。
• 通过比较系数并利用Stirling数的已知生成函数，建立恒等式。
• 通过推导出的级数，展示对文献中已知组合恒等式的简化与统一。

实验结果

研究问题

• RQ1 反正弦函数和反双曲正弦函数幂次的显式Maclaurin级数展开式是什么？
• RQ2 如何利用(arcsin x)^m的级数展开推导第二类Bell多项式特殊值的闭式表达式？
• RQ3 所推导的级数能否用于构建广义logsine函数的级数表示？
• RQ4 这些展开式中会涌现出哪些涉及第一类Stirling数的组合恒等式？
• RQ5 这些结果如何简化或统一文献中已有的恒等式？

主要发现

• 本文通过(arcsin x)^m的Maclaurin级数，给出了第二类Bell多项式特殊值的新显式公式。
• 通过反正弦函数幂次级数的应用，推导出广义logsine函数的级数表示。
• 推导出涉及第一类Stirling数的组合恒等式，并表明其可简化或统一已知结果。
• 利用多重和与二项式系数，建立了(arcsinh x)^m及其与不完全伽马函数复合的级数展开。
• 所推导的反三角与双曲函数级数展开式以Stirling数和二项式系数表示，实现了系统化计算。
• 结果展示了一个统一框架，简化了特殊函数与组合数学领域中此前零散的恒等式。