[论文解读] Madness and regularity properties

Haim Horowitz, Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文構造了一個 ZF+DC 模型，其中存在一個極大幾乎不相交（mad）家族，且所有實數集在 $ω^\omega$-有界、充分絕對的力迫概念下均為可測——具體而言，即為勒貝格可測。透過在 $ω^\omega$-有界泛函生成的泛函之上使用一種新穎的融合論證，作者證明勒貝格可測性並不能推出 mad 家族的不存在，從而解決了集合論中一個關鍵的獨立性問題。

ABSTRACT

Starting from an inaccessible cardinal, we construct a model of $ZF+DC$ where there exists a mad family and all sets of reals are $\mathbb Q$-measurable for $ω^ω$-bounding sufficiently absolute forcing notions $\mathbb Q$.

研究动机与目标

• 探討在 ZF+DC 模型中，mad 家族的存在性與勒貝格可測性之間的獨立性。
• 證明 mad 家族的存在性與所有實數集均為勒貝格可測的性質是一致的。
• 證明 $ω^\omega$-有界、充分絕對的力迫概念並不能推出 mad 家族的不存在。
• 從一個不可達基數出發構造一個模型，使得所有實數集均為 $ω^\omega$-有界力迫可測，且 mad 家族存在。
• 解決弱連續統假設（WCH）相對於 ZF+DC + '所有實數集均為勒貝格可測' 的獨立性問題。

提出的方法

• 引入一個偏序 $AP$，其元素為對 $(\mathbb{P}, \Gamma)$，其中 $\mathbb{P}$ 是 $H(\kappa)$ 中的力迫概念，$\Gamma$ 是對一個 mad 家族的近似。
• 定義 $AP$ 時確保 $\Gamma$ 中名稱的有限並集不被基模型中的實數所支配，以保持幾乎不相交性。
• 在 $\mathbb{Q}$-泛函生成的實數上使用融合論證，其中 $\mathbb{Q}$ 是 $\omega^\omega$-有界且充分絕對的力迫概念，並適應索洛瓦的方法。
• 使用結合 $AP$ 與泛函擴張的力迫迭代，構造一個所有實數集均為 $\mathbb{Q}$-可測的模型。
• 透過由完全嵌入所誘導的自同構對稱性論證，從 $\mathbb{R}$ 到 mad 家族的單射存在性導出矛盾。
• 依賴於不可達基數的存在性，以確保構造的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ZF+DC 模型中，所有實數集的勒貝格可測性是否意味著 mad 家族的不存在？
• RQ2 在所有實數集均對 $\omega^\omega$-有界力迫概念可測的模型中，mad 家族是否可能存在？
• RQ3 弱連續統假設（WCH）是否相對於 ZF+DC + '所有實數集均為勒貝格可測' 是獨立的？
• RQ4 mad 家族的存在性是否可以在所有實數集均為 $\mathbb{Q}$-可測的模型中一致地保持，其中 $\mathbb{Q}$ 是 $\omega^\omega$-有界且充分絕對的？
• RQ5 在最小的大型基數假設下，mad 家族的存在性是否與完全的勒貝格可測性相容？

主要发现

• 本文構造了一個 ZF+DC 模型，其中存在一個 mad 家族，且所有實數集對 $\omega^\omega$-有界、充分絕對的力迫概念 $\mathbb{Q}$ 均為 $\mathbb{Q}$-可測。
• 論證證明勒貝格可測性並不能推出 mad 家族的不存在，因為隨機實數力迫是 $\omega^\omega$-有界的，因此與 mad 家族相容。
• 該模型滿足 $\neg WCH$，表明弱連續統假設相對於 ZF+DC + '所有實數集均為勒貝格可測' 是獨立的。
• 該構造使用了一種新穎的融合論證，作用於 $\mathbb{Q}$-泛函生成的實數，以在力迫過程中保持家族的幾乎不相交性。
• 證明顯示，若假設存在從 $\mathbb{R}$ 到 mad 家族的單射，則可透過由完全嵌入所誘導的自同構導出矛盾，從而確認家族的極大性得以保持。
• 該結果相對於一個不可達基數是一致的，相較於先前需要一整個類的伍丁基數的構造有所改進。