[论文解读] Magic state distillation with punctured polar codes

Anirudh Krishna, Jean–Pierre Tillich|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 44被引用 6

一句话总结

本文提出了一种利用打孔极化码实现容错T门实现的魔术态 distillation 方案。通过利用极化码的代数结构（作为递减单项式码），作者构建了支持高效逐次消除解码的三正交码，其复杂度为 O(N log N)，在大块长度下，二元擦除信道的误码率低至 8×10⁻²⁸，去相位信道的误码率低至 7×10⁻¹⁵。

ABSTRACT

We present a scheme for magic state distillation using punctured polar codes. Our results build on some recent work by Bardet et al. (ISIT, 2016) who discovered that polar codes can be described algebraically as decreasing monomial codes. Using this powerful framework, we construct tri-orthogonal quantum codes (Bravyi et al., PRA, 2012) that can be used to distill magic states for the $T$ gate. An advantage of these codes is that they permit the use of the successive cancellation decoder whose time complexity scales as $O(N\log(N))$. We supplement this with numerical simulations for the erasure channel and dephasing channel. We obtain estimates for the dimensions and error rates for the resulting codes for block sizes up to $2^{20}$ for the erasure channel and $2^{16}$ for the dephasing channel. The dimension of the triply-even codes we obtain is shown to scale like $O(N^{0.8})$ for the binary erasure channel at noise rate $0.01$ and $O(N^{0.84})$ for the dephasing channel at noise rate $0.001$. The corresponding bit error rates drop to roughly $8 imes10^{-28}$ for the erasure channel and $7 imes 10^{-15}$ for the dephasing channel respectively.

研究动机与目标

• 为降低魔术态 distillation 的资源开销，这是容错量子计算中的主要瓶颈。
• 开发一种可扩展、低复杂度的量子纠错码，用于制备高保真度 T 门魔术态。
• 利用经典编码理论的最新进展——特别是极化码的代数描述——作为构建三正交量子码的基础。
• 用 Steane 错误纠正替代 Bravyi-Haah 协议中的后选择机制，实现更高的 distillation 速率和更好的资源效率。
• 在实际噪声模型下，分析打孔极化码的码维和纠错能力。

提出的方法

• 通过从递减单项式码框架导出的极化码进行打孔，构建三正交量子码。
• 利用极化码的逐次消除（SC）解码器，其对块长 N 的解码复杂度为 O(N log N)。
• 应用 Steane 错误纠正以替代 Bravyi-Haah distillation 协议中的后选择，实现具有纠错能力的确定性 distillation。
• 使用 Bhattacharyya 参数对解码后逻辑态的比特误码率进行上界估计。
• 对二元擦除信道和去相位信道进行数值模拟，以估算码维和误码率。
• 利用极化码的代数结构，证明所得码为三正交码，适用于 T 门 distillation。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用打孔极化码构造适用于魔术态 distillation 的三正交码？
• RQ2 在不同噪声模型下，打孔极化码的逻辑码维如何随块长变化？
• RQ3 与 Bravyi-Haah 协议中的后选择相比，逐次消除解码器的纠错性能如何？
• RQ4 Bhattacharyya 参数能否可靠地用于上界估计此量子 distillation 方案中的比特误码率？
• RQ5 与 Reed-Muller 码相比，打孔极化码在魔术态 distillation 中的误码率和码维表现如何？

主要发现

• 在噪声率为 0.01 的二元擦除信道下，由打孔极化码构造的三重偶码的维数按 O(N⁰.⁸) 缩放。
• 在噪声率为 0.001 的去相位信道下，码维按 O(N⁰.⁸⁴) 缩放。
• 在块长为 2²⁰（1,048,576）时，二元擦除信道的比特误码率降至约 8×10⁻²⁸。
• 在块长为 2¹⁶（65,536）时，去相位信道的比特误码率约为 7×10⁻¹⁵。
• 逐次消除解码器实现了 O(N log N) 的解码复杂度，显著优于同类码的传统解码器的效率。
• 使用 Steane 错误纠正替代后选择，使 distillation 速率更高，资源利用率更好。