[论文解读] Mahler's method in several variables I: The theory of regular singular systems

Boris Adamczewski, Colin Faverjon|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2018

semigroups and automata theory参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文将马勒方法推广至多变量正则奇异系统，证明了在代数点处马勒函数值之间的代数关系可提升至 $\overline{\mathbb{Q}}(\mathbf{z})$ 上函数本身之间的代数关系。此外，还建立了当其底层矩阵变换足够不同时，不同系统关联的马勒函数值在代数点处代数独立，推广了单变量情形的早期结果，并为自动机理论与进制展开问题中的应用奠定了基础。

ABSTRACT

This is the first part of a work devoted to the study of linear Mahler systems in several variables from the perspective of transcendence and algebraic independence. We prove two main results concerning systems that are regular singular at the origin. Our interest in Mahler's method comes from the possible applications of these results to old problems involving automata theory and which concern the expansion of both natural numbers and real numbers in integer bases. In particular, problems which involve finite automata and base change. Such applications are studied in Part II of this work.

研究动机与目标

• 从超越数论与代数独立性的角度，发展多变量正则奇异线性马勒系统的完整理论。
• 将内斯特坚科–希德洛夫斯基–包克斯–安德烈的提升原理推广至多变量情形。
• 建立不同矩阵变换关联的马勒函数值的代数独立性结果。
• 为有限自动机与进制变换相关的自动机理论及进制展开问题提供理论基础。
• 解决范德波尔特关于马勒函数值独立性的长期猜想，首次提供超越零星例子的通用框架。

提出的方法

• 作者引入了多变量正则奇异系统的概念，定义为通过分支亚纯规范变换共轭于常数可逆矩阵系统的系统。
• 他们采用基于马勒系统族与多变量指数多项式族的公理化框架，分析解的结构及其代数关系。
• 提出一个新的零化定理，利用赋值理论与 $\mathbb{L}$ 域的形式化，控制在变换点处求值的多项式行为。
• 证明依赖于迭代函数关系及系数 $\tau_{j,\mathbf{k}}$ 的结构，表明在特定点处的零化意味着整个函数的零化。
• 使用解析规范变换将一般情形约化为较简单情形，同时严格控制收敛性与代数结构。
• 该理论被应用于证明：不同马勒函数值之间代数关系的理想由每个系统内部的纯关系生成，意味着系统间的关联是平凡的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将多变量马勒函数在代数点处的值之间的代数关系，提升为 $\overline{\mathbb{Q}}(\mathbf{z})$ 上函数本身之间的代数关系？
• RQ2 在何种条件下，与不同矩阵变换关联的马勒函数值在代数点处表现出代数独立性？
• RQ3 经典内斯特坚科–希德洛夫斯基提升原理在正则奇异马勒系统的多变量设定下，能在多大程度上被推广？
• RQ4 正则奇异系统的结构如何用于推导马勒函数族的独立性结果？
• RQ5 该理论能否应用于解决涉及进制变换与有限自动机展开的自动机理论问题？

主要发现

• 任何在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上关于正则奇异马勒系统在 $f_1(\boldsymbol{\alpha}), \ldots, f_m(\boldsymbol{\alpha})$ 处值的齐次代数关系，均可提升为在 $\overline{\mathbb{Q}}(\mathbf{z})$ 上关于函数 $f_1(\mathbf{z}), \ldots, f_m(\mathbf{z})$ 的类似代数关系。
• 与不同系统关联的马勒函数值之间代数关系的理想，由每个单独系统内部的纯代数关系生成，意味着系统间的关系是平凡的。
• 当底层矩阵变换足够不同时，独立性结果成立，推广了内希奥卡与马萨尔的早期零星结果。
• 该理论适用于通过分支亚纯规范变换共轭于常数可逆矩阵的系统，此类系统被称为正则奇异系统。
• 结果为研究多变量马勒系统中的超越性与代数独立性提供了基础框架，对自动机理论与进制展开问题具有启示意义。
• 本文建立了正则奇异系统在多变量情形下类似希德洛夫斯基定理的版本，将已知的微分与差分方程结果推广至马勒设定。