[论文解读] Mahler's method in several variables II: Applications to base change problems and finite automata

Boris Adamczewski, Colin Faverjon|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2018

semigroups and automata theory参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文将马勒方法推广至多变量情形，以解决基底变换问题，并通过马勒函数的代数无关性研究有限自动机。借助第一部分的提升定理与纯度结果，证明了当变换矩阵的乘法依赖谱半径时，马勒函数在足够独立的代数点处取值代数无关，从而在自动机理论的数表示与赫克–马勒级数方面具有应用。

ABSTRACT

This is the second part of a work devoted to the study of linear Mahler systems in several variables from the perspective of transcendence and algebraic independence. From the lifting theorem obtained in the first part, we first derive a general result, showing that Mahler functions in several variables, associated with transformations having multiplicatively dependent spectral radii, take algebraic independent values at algebraic points provided that these points are sufficiently independent. Then, we focus on applications of this result and of the two main results of Part I of this work. Our main application concerns problems about the representation of natural and real numbers in integer bases involving automata theory. These can be translated in terms of algebraic relations over $\overline{\mathbb Q}$ between values of Mahler functions in one variable. We also apply our results to the algebraic independence of Mahler functions and their specializations, and to the study of the values of Hecke-Mahler series.

研究动机与目标

• 建立当变换矩阵的谱半径乘法相关时，多变量马勒函数代数无关性的普遍结果。
• 利用第一部分的提升定理与纯度定理，解决自动机理论中的基底变换问题。
• 分析多变量马勒函数的特殊化及其在代数点处取值的代数无关性。
• 利用马勒系统框架研究赫克–马勒级数值的代数无关性。
• 发展一种系统性方法，将自动机理论中的数表示问题转化为 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上的代数无关性问题。

提出的方法

• 利用第一部分的提升定理，将代数点处马勒函数取值之间的代数关系，提升为 $\overline{\mathbb{Q}}(\mathbf{z})$ 上函数本身之间的代数关系。
• 应用纯度定理，当谱半径乘法无关时，将多个马勒系统间代数无关性的研究简化为单个系统的研究。
• 构造多变量马勒系统，通过适当的特殊化编码一元函数（如 $\mathfrak{f}(z) = \sum z^{2^n}$）与赫克–马勒级数 $\mathfrak{f}_\omega(z) = \sum \lfloor n\omega \rfloor z^n$。
• 利用正规奇点马勒系统的形式化方法，将有限自动机与 $b$ 进制表示中的问题转化为 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上的代数无关性问题。
• 采用套娃娃娃原理，递归分析多变量系统中嵌套的代数关系。
• 应用超越数论与 $S$-单位方程的结果，推导取值的代数无关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，多变量马勒函数在代数点处的取值在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上代数无关？
• RQ2 如何将自动机理论中的基底变换问题归约为马勒函数取值的代数无关性问题？
• RQ3 能否利用多变量马勒方法证明赫克–马勒级数的取值代数无关？
• RQ4 在多变量马勒函数的特殊化中，其取值的代数无关性在多大程度上可由其底层系统的结构推导？
• RQ5 变换矩阵谱半径的乘法相关性如何影响马勒函数取值的代数无关性？

主要发现

• 若多变量马勒系统中变换矩阵的谱半径乘法相关，则其对应马勒函数在足够独立的代数点处的取值在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上代数无关。
• 通过提升定理，可由 $\mathfrak{f}(z)$ 的超越性推出 $\mathfrak{f}(1/2)$ 与 $\mathfrak{f}(1/3)$ 的代数无关性，其中 $\mathfrak{f}(z) = \sum z^{2^n}$。
• 在适当条件下，赫克–马勒级数 $\mathfrak{f}_\omega(z)$ 在代数点处的取值代数无关，这通过其作为双变量马勒函数特殊化的表示得以证明。
• 多变量马勒系统的形式化方法使得能够处理一元函数在不同点处取值之间的代数关系，克服了经典马勒理论的局限性。
• 套娃娃娃原理使得能够递归分析多变量系统中嵌套的代数关系，从而促进对复杂依赖关系的研究。
• 本文在自动机理论的数表示与代数无关性之间建立了桥梁，表明 $b$ 进制正规性与自动性问题可通过马勒方法加以研究。