[论文解读] Mahonian STAT on rearrangement class of words

Shishuo Fu, Ting Hua+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2017

semigroups and automata theory参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文在单词的重排类上构造了一个显式对合，证明了六元统计量 (des, Id, F, MAJ, STAT) 与 (des, Id, F, STAT, MAJ) 的联合等分布性，从而证明在该对合下交换 MAJ 和 STAT 时二者仍保持等分布。该方法结合了 Burstein 的对合、Foata-Sch"utzenberger 的对合以及 RSK 算法，在保持关键统计量的同时交换了 MAJ 和 STAT，将先前关于排列的等分布结果推广到了单词的重排类。

ABSTRACT

In 2000, Babson and Steingrímsson generalized the notion of permutation patterns to the so-called vincular patterns, and they showed that many Mahonian statistics can be expressed as sums of vincular pattern occurrence statistics. STAT is one of such Mahonian statistics discoverd by them. In 2016, Kitaev and the third author introduced a words analogue of STAT and proved a joint equidistribution result involving two sextuple statistics on the whole set of words with fixed length and alphabet. Moreover, their computer experiments hinted at a finer involution on $R(w)$, the rearrangement class of a given word $w$. We construct such an involution in this paper, which yields a comparable joint equidistribution between two sextuple statistics over $R(w)$. Our involution builds on Burstein's involution and Foata-Schützenberger's involution that utilizes the celebrated RSK algorithm.

研究动机与目标

• 将 Mahonian 统计量 (MAJ, STAT) 的联合等分布性从排列推广到单词的重排类。
• 通过在单词 w 的重排类 R(w) 上构造显式对合，解决 Kitaev 和 Vajnovszki (2016) 提出的猜想。
• 在交换 MAJ 和 STAT 的同时，保持逆下降集 Id 和其他关键统计量不变。
• 在 R(w) 上提供一个更精细的等分布结果，用 Id 替代 Adj，因为 Adj 在重排类中未被良好定义。
• 利用基于 RSK 的对合，将先前关于排列和单词的等分布定理推广至重排类的设定。

提出的方法

• 在对称群 S_n 上构造一个对合 φ，其保持 des、Id 和 F，且交换 MAJ 和 STAT。
• 使用 RSK 算法定义序列上的映射 j，将其应用于排列的上下两部分，以定义 φ 的像。
• 应用编码映射 c，实现在单词与排列之间的转换，使对合能够被提升至重排类 R(w)。
• 采用逆 RSK 算法从标准杨表对重构排列，确保映射的双射性与可逆性。
• 依赖于 φ 是对合（即 φ² = 1）的事实，从而保证交换后统计量的等分布性。
• 验证了该对合保持不动点数 F 和逆下降集 Id，这对等分布结果至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在单词 w 的重排类 R(w) 上建立 (des, Id, F, MAJ, STAT) 与 (des, Id, F, STAT, MAJ) 的联合等分布性，类似于在排列和全单词集合上的已知结果？
• RQ2 是否存在一个 R(w) 上的显式对合，其在交换 MAJ 和 STAT 的同时保持 des、Id 和 F？
• RQ3 RSK 算法如何用于在单词重排类的背景下构造此类对合？
• RQ4 该等分布结果能否推广至字母表的 k-扩展情形，其中字母被划分为小写和大写，且统计量相应重新定义？
• RQ5 该等分布性对重排类上 Euler-Mahonian 统计量的分类有何影响？

主要发现

• 本文在对称群 S_n 上构造了一个显式对合 φ，其保持 des、Id 和 F，且满足 MAJ(φ(π)) = STAT(π) 与 STAT(φ(π)) = MAJ(π)，从而证明了 (des, Id, F, MAJ, STAT) 与 (des, Id, F, STAT, MAJ) 的联合等分布性。
• 通过对合 φ 通过编码映射 c 提升至重排类 R(w)，得到 R(w) 上的对合 φ_{R(w)}，其保持 des、Id 和 F，同时交换 MAJ 和 STAT。
• 关键结果为推论 1.5，其证明了对任意单词 w，(des, Id, F, MAJ, STAT) 与 (des, Id, F, STAT, MAJ) 在 R(w) 上具有相同的联合分布。
• 该对合保持逆下降集 Id，而 Id 唯一确定了 des 和 ides，由此推出推论 1.6：当用 IMAJ 替代 Adj 时，联合等分布性依然成立。
• 提供了一个例子：v = 4 3 4 4 2 1 6 5 1 属于 R(w)，其 (des, Id, F, MAJ, STAT) = (5, {2,3,4,8}, 4, 25, 21)，而 φ_{R(w)}(v) = 4 1 6 4 3 2 4 5 1，其 (des, Id, F, STAT, MAJ) = (5, {2,3,4,8}, 4, 25, 21)，确认了交换的正确性。
• 该结果证实了 (des, STAT) 在重排类上构成一个新的 Euler-Mahonian 对，扩展了此类统计量的已知家族。