[论文解读] Main conjectures for higher rank nearly ordinary families -- I

Kâzım Büyükboduk, Tadashi Ochiai|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文为任意维数变形环上的高阶伽罗瓦表示的同调理论建立了基础框架，引入了广义的科尔曼映射以及局部受限欧拉系的维数约化技术。通过贝林森-弗拉奇欧拉系，证明了Rankin-Selberg $p$-进 $L$-函数的三变量主猜想整除性，将先前结果推广至系数在 $p$-进域上形式幂级数环中的近正则族。

ABSTRACT

In this article, we present the first half of our project on the Iwasawa theory of higher rank Galois deformations over deformations rings of arbitrary dimension. We develop a theory of Coleman maps for a very general class of coefficient rings, devise a dimension reduction procedure for locally restricted Euler systems and finally, put these into use in order to prove a divisibility in a 3-variable main conjecture for nearly ordinary families of Rankin-Selberg convolutions.

研究动机与目标

• 为任意克鲁尔维数的环上的高阶伽罗瓦变形理论发展同调主猜想的一般性工具。
• 为系数在多个变量形式幂级数环有限扩张中的近正则伽罗瓦变形构造科尔曼映射。
• 证明Rankin-Selberg两个希达族的西格伯格变形的三变量主猜想中整除性关系。
• 通过贝林森-弗拉奇欧拉系与新科尔曼映射框架，提出希达 $p$-进 $L$-函数的新构造。

提出的方法

• 为包括任意多个变量的 $p$-进域上形式幂级数环在内的广义系数环类发展科尔曼映射理论。
• 为局部受限欧拉系引入维数约化程序，以控制高维变形环上的塞尔默群。
• 将科尔曼映射构造应用于 [KLZ17] 中的三变量贝林森-弗拉奇类，将其与 $p$-进 $L$-函数联系起来。
• 利用所得欧拉系证明Rankin-Selberg $p$-进 $L$-函数三变量主猜想中的整除性关系。
• 依赖希达 $p$-进 $L$-函数的插值性质与非零性论证，确立关键上同调类的非平凡性。
• 利用平凡商与迪厄多内模之间的同构关系，将上同调类与 $p$-进 $L$-值联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将科尔曼映射推广至任意克鲁尔维数的系数环，特别是多变量形式幂级数环？
• RQ2 能否为局部受限欧拉系发展一种维数约化技术，以控制高维变形环上的塞尔默群？
• RQ3 贝林森-弗拉奇欧拉系在多大程度上可用于证明高阶同调主猜想中的整除性陈述？
• RQ4 希达的Rankin-Selberg卷积 $p$-进 $L$-函数能否通过科尔曼映射与欧拉系的新构造方式恢复？
• RQ5 贝林森-弗拉奇类在局部上同调中的像非零的条件是什么？这与 $p$-进 $L$-函数的非零性有何关联？

主要发现

• 通过科尔曼映射构造的 $p$-进 $L$-函数 $L_p^{\textup{BF}}(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{j})$ 等于希达的 $p$-进 $L$-函数 $L_p^\textup{Hida}(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{j})$，在三变量设定下确立了二者的一致性。
• 贝林森-弗拉奇类 $\mathrm{res}_p(\mathbf{BF}^{\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2}_1)$ 在局部上同调中的像非平凡，其非零性由 $L_p^\textup{Hida}(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{j})$ 在特定特化点的非零性所证明。
• 三变量主猜想中存在整除关系：$\textup{char}_{\mathbb{I}\widehat{\otimes}\mathbb{I}\widehat{\otimes}\Lambda_{\textup{cyc}}}(H^1_{\mathcal{F}_{\textup{Gr}}^{*}}(\mathbb{Q},\mathbb{T}_{\textup{cyc}}^\vee(1))^\vee \otimes \cdots) \supset (H \cdot L_p^\textup{Hida}(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{j}))$。
• $L_p^\textup{Hida}(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{j})$ 的非零性通过证明其在权重满足 $w_1 > w_2 + 2$ 时的特化非零而确立，依赖于Hecke特征值的阿基米德界。
• 同构关系 $H^1_{+\!/^\textup{f}}(\mathbb{Q}_p,\mathbb{T}_{\textup{cyc}}) \cong \mathbb{D}(F^{-+}\mathbb{T}_{\textup{cyc}})$ 允许利用迪厄多内理论将上同调类与 $p$-进 $L$-值联系起来。
• 科尔曼映射的构造使得希达 $p$-进 $L$-函数得以以新方式导出，与 [KLZ17, 定理 B] 的方法一致，但现适用于高阶、多变量情形。