[论文解读] $p$-adic heights of Heegner points and Beilinson-Flach elements

Francesc Castella|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新的 Iwasawa 理论方法，证明了在 $Π$ 上的不定 Shimura 曲线上的 Heegner 点的 $λ$-adic Gross–Zagier 公式，将 Howard 的结果推广到了非分裂四元数代数的情形。关键贡献在于建立了一个 $λ$-adic Gross–Zagier 公式，将双变量 $p$-adic $L$-函数的分圆导数与 Heegner 点在分圆塔中的 $p$-adic 高度联系起来，方法基于 Beilinson–Flach 元素和显式互惠律。

ABSTRACT

We give a new proof of Howard's $Λ$-adic Gross-Zagier formula, which we extend to the context of indefinite Shimura curves over $\mathbf{Q}$ attached to nonsplit quaternion algebras. This formula relates the cyclotomic derivative of a two-variable $p$-adic $L$-function restricted to the anticyclotomic line to the cyclotomic $p$-adic heights of Heegner points over the anticyclotomic tower, and our proof, rather than inspired by the original approaches of Gross-Zagier and Perrin-Riou, is via Iwasawa theory, based on the connection between Heegner points, Beilinson-Flach elements, and their explicit reciprocity laws.

研究动机与目标

• 为 $Π$ 上的不定 Shimura 曲线上的 Heegner 点提供一种新的 Iwasawa 理论方法证明 $λ$-adic Gross–Zagier 公式。
• 将 Howard 的 $λ$-adic Gross–Zagier 公式推广到非分裂四元数代数和不定 Shimura 曲线的背景中。
• 在反分圆塔中，建立双变量 $p$-adic $L$-函数的分圆导数与 Heegner 点的 $p$-adic 高度之间的精确联系。
• 证明基于 Beilinson–Flach 元素和显式互惠律的方法可推广至普通情形之外的秩一情形。

提出的方法

• 利用 Iwasawa 理论研究插值 Rankin–Selberg $L$-函数中心值的 $p$-adic $L$-函数 $L_p(f/K)$。
• 应用显式互惠律，将 Beilinson–Flach 类与 Selmer 群 $\mathrm{Sel}(K,\mathbf{T}^{\mathrm{ac}})$ 中的 Heegner 点联系起来。
• 使用分圆 $\Lambda^{\mathrm{ac}}$-adic 高度配对 $\langle \cdot, \cdot \rangle_{K^{\mathrm{ac}}_{\infty}}^{\mathrm{cyc}}$ 来度量 Heegner 点的 $p$-adic 高度。
• 建立 $\Lambda^{\mathrm{ac}} \otimes_{\mathbf{Z}_p} \mathbf{Q}_p$ 中的理想等式 $(L_{p,1}^{\mathrm{cyc}}(f/K)) = (\langle \mathbf{z}_f, \mathbf{z}_f \rangle_{K^{\mathrm{ac}}_{\infty}}^{\mathrm{cyc}})$。
• 依赖于控制定理和 $p$-adic $L$-函数 $\mu$-不变量的消失，推导出特征理想的整性与等式。
• 利用 Beilinson–Flach 元素的理论及其在 Heegner 点上的特化，将 $p$-adic $L$-函数与算术不变量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 Iwasawa 理论和 Beilinson–Flach 元素重新证明 $λ$-adic Gross–Zagier 公式？
• RQ2 双变量 $p$-adic $L$-函数的分圆导数与反分圆塔中 Heegner 点的 $p$-adic 高度之间的确切关系是什么？
• RQ3 本文的方法能否推广到更高权模形式或超奇异 $p$-adic $L$-函数？
• RQ4 在何种条件下，$p$-adic $L$-函数的 $\mu$-不变量消失，从而保证特征理想的整性？
• RQ5 Beilinson–Flach 类的显式互惠律如何与 Shimura 曲线上的 Heegner 点的算术性质相联系？

主要发现

• 本文在 $\Lambda^{\mathrm{ac}} \otimes_{\mathbf{Z}_p} \mathbf{Q}_p$ 中建立了理想等式 $(L_{p,1}^{\mathrm{cyc}}(f/K)) = (\langle \mathbf{z}_f, \mathbf{z}_f \rangle_{K^{\mathrm{ac}}_{\infty}}^{\mathrm{cyc}})$，从而证明了 $λ$-adic Gross–Zagier 公式。
• 该证明基于 Iwasawa 理论和 Beilinson–Flach 元素的显式互惠律，提供了一种独立于原始 Gross–Zagier 和 Perrin-Riou 方法的新途径。
• 在 $E[p]$ 在整除 $N^{-}$ 的素数上绝对不可约且有分歧的假设下，$p$-adic $L$-函数 $\mathscr{L}^{\tt BDP}_{\mathfrak{p}}(f/K)$ 的 $\mu$-不变量消失。
• 证明了 Selmer 群 $X_{\emptyset,0}(K,\mathbf{A}^{\mathrm{ac}})$ 的特征理想等于 $p$-adic $L$-函数理想之平方，至多相差 $p$ 的幂次。
• 该方法被证明可推广至更高权情形和超奇异情形，后续工作已证实这一点。
• 在标准假设下，有包含关系 $Ch_{\Lambda_{R_0}}(X_{\emptyset,0}(K,\mathbf{A})_{R_0}) \subseteq (\mathscr{L}_{\mathfrak{p}}(f/K))$，且通过 $\mu$-不变量的消失实现了整性。