[论文解读] Malle's Conjecture for $G imes A$, with $G = S_3, S_4, S_5$

Riad Masri, Frank Thorne+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文证明了对伽罗瓦群 $G \times A$ 的马勒猜想，其中 $G = S_3, S_4, S_5$ 且 $A$ 为任意有限交换群，确立了在判别式有界条件下的此类数域的渐近计数。作者通过改进的平均方法与一致性估计，消除了对整除 $A$ 的素数的先前限制，确认了预测的幂律增长 $N(X, G \times A) \sim c(G \times A) X^{1/|A|}$，由于 $b(G \times A) = 1$ 而无对数因子。此结果解决了算术统计中的一个关键情形，并支持了 $S_d$-酉自乘 CM 域的科勒兹猜想。

ABSTRACT

We prove Malle's conjecture for $G imes A$, with $G=S_3, S_4, S_5$ and $A$ an abelian group. This builds upon work of the fourth author, who proved this result with restrictions on the primes dividing $A$.

研究动机与目标

• 证明伽罗瓦群 $G \times A$ 的马勒猜想，其中 $G = S_3, S_4, S_5$ 且 $A$ 为任意有限交换群。
• 扩展先前结果中对整除 $A$ 的素数施加限制的限制，通过改进的分析技术消除该约束。
• 建立 $G \times A$-扩张在 $\mathbb{Q}$ 上且判别式有界的数域数量的精确渐近公式。
• 将这些域的分布与算术几何中的科勒兹猜想联系起来，特别是针对 $S_d$-酉自乘 CM 域。
• 为其他情形（如 $A_d$-和 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q)$-酉自乘 CM 域）的猜想性渐近公式提供框架。

提出的方法

• 在 $S_d$-扩张与 $A$-扩张上使用改进的平均方法，通过复合构造将二者结合。
• 对 $L$-函数矩的统一性假设（1.2.B）加以应用，以控制计数函数中的误差项。
• 对判别式范围进行二分分解，以 $Y$ 为索引，截断大判别式域的求和。
• 通过证明误差项 $\ll Y^{\beta + \varepsilon}$ 中的指数 $\beta < 0$，建立关键的误差界，实现指数衰减。
• 利用序列 $C_Y = \lim_{X \to \infty} N_Y(X, S_d \times A)/X^{1/|A|}$ 的单调性与有界性，证明主项的收敛性。
• 应用关键孔路径法与矩估计，以控制大分歧或大判别式域的贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 马勒猜想是否对 $G \times A$-扩张成立，其中 $G = S_3, S_4, S_5$ 且 $A$ 为任意有限交换群，且对整除 $A$ 的素数无限制？
• RQ2 能否建立 $S_d \times A$-数域在判别式有界条件下的渐近计数，使其精确符合马勒猜想所预测的幂律增长 $X^{1/|A|}$？
• RQ3 常数 $c(G \times A)$ 在渐近公式中的作用是什么？它如何与伽罗瓦群结构及分裂条件相关联？
• RQ4 如何理解 $S_d$-酉自乘 CM 域的分布与科勒兹猜想之间的关系？其渐近密度能否被计算？
• RQ5 本文所用方法能否推广至其他群（如 $A_d$ 或 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q)$）以预测其酉自乘 CM 域的渐近计数？

主要发现

• 马勒猜想已证明适用于 $G \times A$，其中 $G = S_3, S_4, S_5$ 且 $A$ 为任意有限交换群，消除了对整除 $A$ 的素数的先前限制。
• 渐近公式 $N(X, S_d \times A) \sim c(S_d \times A) X^{1/|A|}$ 在 $X \to \infty$ 时成立，由于 $b(S_d \times A) = 1$ 而无对数因子。
• 常数 $c(S_d \times A)$ 为正且有限，确认了此类域存在无穷多个，且其密度符合预测。
• 该结果可推广至任意有限个分裂条件的域计数，且保持渐近幂律。
• 该方法确认了截断和 $N_Y(X, S_d \times A)$ 与完整计数 $N(X, S_d \times A)$ 之间的误差以 $Y^{\beta + \varepsilon}$ 衰减，其中 $\beta < 0$，确保收敛性。
• 该框架支持 $S_d$-酉自乘 CM 域的猜想性渐近公式，且结果表明 $N_{2d}^\textrm{unitary}(X, S_d \times C_2) \sim c'(S_d \times C_2) X^{1/2}$ 在 $X \to \infty$ 时成立。