[论文解读] Many-body topological invariants in fermionic symmetry protected topological phases

Ken Shiozaki, Hassan Shapourian+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Topological Materials and Phenomena被引用 5

一句话总结

该论文通过在空间子区域 D 上使用部分点群变换，引入了费米子对称保护拓扑相的多体拓扑不变量。结果表明，这些变换的基态期望值表现出一个量子化的相位 θ 和一个与尺度无关的振幅贡献 γ，其中 θ 作为拓扑不变量，可检测 (1+1)D、(2+1)D 和 (3+1)D 系统中由点群对称性保护的非平庸相。

ABSTRACT

We propose the definitions of many-body topological invariants to detect symmetry-protected topological phases protected by point group symmetry, using partial point group transformations on a given short-range entangled quantum ground state. Partial point group transformations $g_D$ are defined by point group transformations restricted to a spatial subregion $D$, which is closed under the point group transformations and sufficiently larger than the bulk correlation length $\xi$. By analytical and numerical calculations,we find that the ground state expectation value of the partial point group transformations behaves generically as $\langle GS | g_D | GS angle \sim \exp \Big[ i heta+ \gamma - \alpha \frac{{ m Area}(\partial D)}{\xi^{d-1}} \Big]$. Here, ${ m Area}(\partial D)$ is the area of the boundary of the subregion $D$, and $\alpha$ is a dimensionless constant. The complex phase of the expectation value $ heta$ is quantized and serves as the topological invariant, and $\gamma$ is a scale-independent topological contribution to the amplitude. The examples we consider include the $\mathbb{Z}_8$ and $\mathbb{Z}_{16}$ invariants of topological superconductors protected by inversion symmetry in $(1+1)$ and $(3+1)$ dimensions, respectively, and the lens space topological invariants in $(2+1)$-dimensional fermionic topological phases. Connections to topological quantum field theories and cobordism classification of symmetry-protected topological phases are discussed.

研究动机与目标

• 为由点群对称性保护的费米子对称保护拓扑（SPT）相定义新的多体拓扑不变量。
• 建立一个框架，通过限制在空间子区域 D 上的部分点群变换来检测非平庸的 SPT 顺序。
• 在部分对称性操作的期望值中识别出量子化的相位 θ 和与尺度无关的振幅贡献 γ 作为拓扑不变量。
• 将所提出的不变量与拓扑量子场论以及 SPT 相的 cobordism 分类联系起来。

提出的方法

• 将部分点群变换 g_D 定义为限制在空间子区域 D 上的点群操作，其中 D 在群作用下封闭且大于关联长度 ξ。
• 计算基态期望值 ⟨GS|g_D|GS⟩ 并分析其在 D 的边界面积方面的渐近行为。
• 推导出函数形式 ⟨GS|g_D|GS⟩ ∼ exp[iθ + γ - α·Area(∂D)/ξ^{d−1}]，其中 θ 为拓扑不变量，γ 为与尺度无关的振幅贡献。
• 使用分析和数值方法验证 θ 的量子化特性以及 γ 的普遍性，适用于多种 SPT 相。
• 将该形式化方法应用于具体模型，包括在拓扑超导体中由反演对称性保护的 Z_8 和 Z_16 不变量，以及在 (2+1)D 费米子相中发现的透镜空间不变量。
• 建立不变量与拓扑量子场论以及 SPT 相的 cobordism 分类之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为由点群对称性保护的费米子 SPT 相定义多体拓扑不变量？
• RQ2 部分点群变换的期望值在子区域 D 的几何结构上具有何种函数依赖关系？
• RQ3 期望值 ⟨GS|g_D|GS⟩ 中的相位 θ 是否是量子化的，并且对局部微扰具有鲁棒性？
• RQ4 振幅贡献 γ 是否与系统尺寸和关联长度无关？
• RQ5 这些不变量如何与已有的分类方法（如 cobordism 和拓扑量子场论）相联系？

主要发现

• 部分点群变换的基态期望值 ⟨GS|g_D|GS⟩ 表现出一种普遍形式，包含一个量子化的相位 θ 和一个与尺度无关的振幅贡献 γ。
• 相位 θ 是量子化的，可作为拓扑不变量，用于区分非平庸的 SPT 相与平庸相。
• 振幅贡献 γ 与系统尺寸和关联长度无关，表明其具有稳健的拓扑贡献特性。
• 该形式化方法成功检测到由反演对称性保护的 (1+1)D 和 (3+1)D 拓扑超导体中的 Z_8 和 Z_16 不变量。
• 该方法通过同一框架识别出 (2+1)D 费米子拓扑相中的透镜空间不变量。
• 结果与拓扑量子场论的预测一致，并为 SPT 相的 cobordism 分类提供了多体实现。