[论文解读] Many $T$ copies in $H$-free subgraphs of random graphs

Noga Alon, Alexandr Kostochka+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 14被引用 1

一句话总结

本文研究了随机图 $G(n,p)$ 中 $H$-自由子图内 $K_m$ 的最大数量，表明在保持大部分 $K_m$ 复制与切换至 $\chi(H)-1$-部分图之间的过渡阈值，其关键取决于 $p$ 相对于 $m_2(H)$ 的取值。当 $m_2(H) > m_2(K_m)$ 时，过渡在 $p = n^{-1/m_2(H)}$ 处呈现锐利转变；当 $m_2(H) < m_2(K_m)$ 时，过渡窗口更宽广。该结论通过一种新颖的 $k$-色图构造得以支持，其 $m_2$ 值可被精确控制。

ABSTRACT

For two fixed graphs $T$ and $H$ let $ex(G(n,p),T,H)$ be the random variable counting the maximum number of copies of $T$ in an $H$-free subgraph of the random graph $G(n,p)$. We show that for the case $T=K_m$ and $\chi(H)> m$ the behavior of $ex(G(n,p),K_m,H)$ depends strongly on the relation between $p$ and $m_2(H)=\max_{H'\subset H, |V(H')|'\geq 3}\left\{ \frac{e(H')-1}{v(H')-2} ight\}$. When $m_2(H)> m_2(K_m)$ we prove that with high probability, depending on the value of $p$, either one can maintain almost all copies of $K_m$, or it is asymptotically best to take a $\chi(H)-1$ partite subgraph of $G(n,p)$. The transition between these two behaviors occurs at $p=n^{-1/m_2(H)}$. When $m_2(H) 0$ small at $p=n^{-1/m_2(H)+\delta}$ one can typically still keep most of the copies of $K_m$ in an $H$-free subgraph of $G(n,p)$. Thus, the transition between the two behaviors in this case occurs at some $p$ significantly bigger than $n^{-1/m_2(H)}$. To show that the second case is not redundant we present a construction which may be of independent interest. For each $k \geq 4$ we construct a family of $k$ chromatic graphs $G(k,\epsilon_i)$ where $m_2(G(k,\epsilon_i))$ tends to $\frac{(k+1)(k-2)}{2(k-1)} (< m_2(K_{k-1}))$ as $i$ tends to infinity. This is tight for all values of $k$

研究动机与目标

• 确定 Erdős–Rényi 随机图 $G(n,p)$ 中 $H$-自由子图内 $K_m$ 复制数的渐近行为。
• 识别最优 $H$-自由子图在保持大部分 $K_m$ 复制与采用 $\chi(H)-1$-部分图结构之间发生转变的关键概率阈值 $p$。
• 解决当 $m_2(H) < m_2(K_m)$ 时是否会产生非平凡的过渡窗口，该窗口与 $m_2(H) > m_2(K_m)$ 时的锐利阈值形成对比。
• 构造一类 $k$-色图，其 $m_2$ 值趋近于 $\frac{(k+1)(k-2)}{2(k-1)}$，以证明该界的紧致性，并验证第二种情形的非冗余性。

提出的方法

• 利用概率论与极值图论技术，分析 $G(n,p)$ 中 $H$-自由子图的极值结构。
• 定义 $m_2(H) = \max_{H' \subset H, |V(H')| \geq 3} \left\{ \frac{e(H')-1}{v(H')-2} \right\}$ 作为控制相变的关键参数。
• 在 $m_2(H) > m_2(K_m)$ 时，建立在 $p = n^{-1/m_2(H)}$ 处从保留 $K_m$ 复制到部分图结构的锐利阈值。
• 证明当 $m_2(H) < m_2(K_m)$ 时，过渡发生在远大于 $n^{-1/m_2(H)}$ 的 $p$ 值，表明存在更宽广的过渡窗口。
• 构造一类 $k$-色图 $G(k,\epsilon_i)$，使得当 $i \to \infty$ 时，$m_2(G(k,\epsilon_i)) \to \frac{(k+1)(k-2)}{2(k-1)}$，表明该界是紧致的。
• 利用概率方法与极值图构造，证明即使在 $m_2(H) < m_2(K_m)$ 的情形下，第二种情况也并非冗余。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $G(n,p)$ 的最优 $H$-自由子图中，使子图在保持大部分 $K_m$ 复制与采用 $\chi(H)-1$-部分图结构之间发生转变的临界概率 $p$ 是什么？
• RQ2 当 $m_2(H) > m_2(K_m)$ 与 $m_2(H) < m_2(K_m)$ 时，过渡行为有何不同？
• RQ3 在 $m_2(H) < m_2(K_m)$ 的情形下，是否存在非平凡的过渡窗口？若存在，该窗口在何种 $p$ 值下发生？
• RQ4 对于 $k$-色图，$m_2$ 值的界 $\frac{(k+1)(k-2)}{2(k-1)}$ 是否紧致？
• RQ5 能否提供一种构造方法，以证明在极值 $H$-自由子图的背景下，$m_2(H) < m_2(K_m)$ 的情形并非冗余？

主要发现

• 当 $m_2(H) > m_2(K_m)$ 时，保持大部分 $K_m$ 复制与采用 $\chi(H)-1$-部分图结构之间的过渡在 $p = n^{-1/m_2(H)}$ 处呈现锐利转变。
• 当 $m_2(H) < m_2(K_m)$ 时，过渡发生在远大于 $n^{-1/m_2(H)}$ 的 $p$ 值，表明存在更宽广的过渡窗口。
• 在 $p = n^{-1/m_2(H)+\delta}$（其中 $\delta > 0$ 为小量）时，通常仍可在 $H$-自由子图中维持大部分 $K_m$ 复制，证实了该转变过程的渐进性。
• 本文提供了 $k$-色图 $G(k,\epsilon_i)$ 的构造，使得当 $i \to \infty$ 时，$m_2(G(k,\epsilon_i))$ 趋近于 $\frac{(k+1)(k-2)}{2(k-1)}$，表明该界是紧致的。
• 该构造表明，$m_2(H) < m_2(K_m)$ 的情形并非冗余，因为存在 $m_2$ 值严格小于 $m_2(K_{k-1})$ 的图。
• 本文确立了 $ex(G(n,p),K_m,H)$ 的行为由 $p$、$m_2(H)$ 与 $m_2(K_m)$ 之间的相互作用所决定，其相变行为因三者相对大小的不同而呈现显著差异。