[论文解读] On random k-out sub-graphs of large graphs

Alan Frieze, Tony Johansson|arXiv (Cornell University)|May 9, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用 2

一句话总结

本文研究大规模图的随机 k-out 子图，其中每个顶点独立地从其原始度集内选择 k 个随机邻居。对于最小度至少为 (1/2 + ε)n 的图，证明了当 k 足够大时，k-out 子图以高概率（w.h.p.）是 k-连通且哈密顿的。对于最小度 m → ∞ 的图，证明了以高概率子图包含长度为 (1−ε)m 的环，前提是 k 足够大。

ABSTRACT

We consider random sub-graphs of a fixed graph G=(V,E) with large minimum degree. We fix a positive integer k and let Gk be the random sub-graph where each v∈V independently chooses k random neighbors, making kn edges in all. When the minimum degree δ(G)≥(12+ϵ)n,n=|V| then Gk is k-connected w.h.p. for k=O(1); Hamiltonian for ksufficiently large. When δ(G)≥m, then Gk has a cycle of length (1−ϵ)m for k≥kϵ. By w.h.p. we mean that the probability of non-occurrence can be bounded by a function ϕ(n) (or ϕ(m)) where limn→∞ϕ(n)=0.

研究动机与目标

• 确定大规模图的随机 k-out 子图在何种条件下以高概率（w.h.p.）是 k-连通的。
• 确定当图的最小度较高时，此类子图在何种情况下是哈密顿的。
• 证明在最小度 m → ∞ 的图中，k-out 子图存在长度为 (1−ε)m 的长环。
• 将经典随机图结果（例如关于 G(n,k-out) 的结果）推广至具有结构约束的任意基图。
• 为从稠密基图导出的稀疏随机子图中的结构性质提供概率保证（w.h.p.）

提出的方法

• 采用随机 k-out 模型，即在固定图 G 中，每个顶点独立地从其原始邻域中选择 k 个随机邻居。
• 采用两阶段方法：首先选择一个顶点小集合 L，以确保其公共邻域密度较高。
• 利用集中不等式和切尔诺夫不等式，证明在 V\L 上诱导的子图无小连通分量，且高度连通。
• 使用分支过程和基于时隙的探索方法，模拟子图中路径与环的发现过程。
• 应用霍夫丁不等式，限制连通分量之间公共邻居不足的概率。
• 将探索过程建模为伽顿-沃森分支过程，以证明长路径和环以高概率出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在基图 G 满足何种条件时，随机 k-out 子图 Gk 以高概率（w.h.p.）是 k-连通的？
• RQ2 当 G 的最小度至少为 (1/2 + ε)n 时，k 取何值可使 Gk 以高概率成为哈密顿图？
• RQ3 当 G 的最小度 m → ∞ 时，Gk 是否可能包含长度为 (1−ε)m 的环？
• RQ4 在最小度较大的图中，k 的临界阈值是多少，使得 Gk 以高概率包含长度为 (1−ε)m 的路径或环？
• RQ5 基图的结构如何影响 k-out 子图中长环的出现？

主要发现

• 对于任意固定的 k = O(1)，若 δ(G) ≥ (1/2 + ε)n，则 Gk 以高概率（w.h.p.）是 k-连通的。
• 存在常数 kε，使得当 k ≥ kε 时，若 δ(G) ≥ (1/2 + ε)n，则 Gk 以高概率（w.h.p.）是哈密顿图。
• 对于最小度 m → ∞ 的图，且对任意 ε > 0，存在 kε，使得当 k ≥ kε 时，Gk 以高概率（w.h.p.）包含长度为 (1−ε)m 的环。
• Gk 失去 k-连通性或不包含长环的概率，由一个函数 φ(n) → 0（当 n → ∞ 时）所界定。
• 通过一种新颖的基于时隙的探索过程和对邻居选择的概率分析，建立了长环的存在性。
• 结果将经典 G(n,k-out) 结果推广至最小度较高的任意图，表明在随机稀疏化下结构性质具有鲁棒性。