[论文解读] Mapping class group dynamics on Aff(C)-characters

Selim Ghazouani|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文证明了映射类群在从亏格 $ g \geq 2 $ 曲面的基本群到复仿射群 $ \mathrm{Aff}(\mathbb{C}) $ 的表示的特征簇上作用是遍历的。通过分析线性部分 $ \mathrm{H}^1(S, \mathbb{C}^*) \simeq (\mathbb{C}^*)^{2g} $ 上的作用以及托里椭群在扭曲上同调纤维 $ \mathrm{PH}^1_\alpha(\Gamma, \mathbb{C}) $ 上的作用，作者证明了遍历性，这意味着几乎所有此类表示都可作为曲面上分支仿射结构的holonomy出现。

ABSTRACT

We prove that in genus bigger than $2$, the mapping class group action on $\mathrm{Aff}(\mathbb{C})$-characters is ergodic. This implies that almost every representation $π_1 S \longrightarrow \mathrm{Aff}(\mathbb{C})$ is the holonomy of a branched affine structure on $S$, where $S$ is a closed orientable surface of genus $g \geq 2$.

研究动机与目标

• 建立亏格 $ g \geq 2 $ 的曲面上映射类群在 $ \mathrm{Aff}(\mathbb{C}) $-特征簇上的遍历性。
• 理解映射类群在表示 $ \pi_1S \to \mathrm{Aff}(\mathbb{C}) $ 上的动力学行为，特别是通过托里椭群在扭曲上同调纤维上的作用。
• 通过证明几何holonomy集合在特征簇中为全测度，解决分支复仿射结构的holonomy问题。

提出的方法

• 特征簇被构作成一个纤维丛，其底空间为 $ (\mathbb{C}^*)^{2g} $，纤维同构于 $ \mathbb{CP}^{2g-3} $，由扭曲上同调 $ \mathrm{H}^1_\alpha(\Gamma, \mathbb{C}) $ 参数化。
• 通过Moore定理在 $ \mathbb{R}^{2g} \times (\mathbb{R}/\mathbb{Z})^{2g} $ 上的对角作用，证明了 $ \mathrm{Sp}(2g, \mathbb{Z}) $ 在 $ (\mathbb{C}^*)^{2g} $ 上的作用是遍历的。
• 对德恩旋转变换在 $ \mathrm{PH}^1_\alpha(\Gamma, \mathbb{C}) $ 上的作用进行显式计算，表明托里椭群在几乎所有 $ \alpha \in (\mathbb{C}^*)^{2g} $ 的纤维上作用是遍历的。
• 证明结合了底空间上的遍历性与托里椭群在纤维上的遍历性，利用了投影表示 $ \tau_\alpha: \mathcal{I}(S) \to \mathrm{PGL}(2g-2, \mathbb{C}) $。
• 该作用不保持任何关于勒贝格测度的绝对连续测度，这与在约化情形下戈德曼的辛形式保证存在不变测度的情况形成对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些表示 $ \pi_1S \to \mathrm{Aff}(\mathbb{C}) $ 可作为分支仿射结构的holonomy出现？
• RQ2 映射类群在 $ \mathrm{Aff}(\mathbb{C}) $-特征簇上的作用是否具有类似Ratner的结构或非齐次轨道闭包？
• RQ3 对于哪些 $ \alpha \in (\mathbb{C}^*)^{2g} $，托里椭群表示 $ \tau_\alpha: \mathcal{I}(S) \to \mathrm{PGL}(2g-2, \mathbb{C}) $ 是离散的？
• RQ4 当 $ \alpha $ 为单位阵时，托里椭群表示 $ \tau_\alpha $ 是否能在 $ \mathrm{PU}(g-1,g-1) $ 中生成格？
• RQ5 具有实线性holonomy的分支仿射结构中，方向叶状结构如何表现？

主要发现

• 映射类群在 $ \mathrm{Aff}(\mathbb{C}) $-特征簇上的作用对所有 $ g \geq 2 $ 是遍历的，该结果通过结合底空间 $ (\mathbb{C}^*)^{2g} $ 上的遍历性与托里椭群在纤维上的遍历性而证明。
• 托里椭群在纤维 $ \mathrm{PH}^1_\alpha(\Gamma, \mathbb{C}) \simeq \mathbb{CP}^{2g-3} $ 上的作用对几乎所有 $ \alpha \in (\mathbb{C}^*)^{2g} $ 是遍历的，该结论通过显式计算德恩旋转变换的作用得到证实。
• 该作用不保持任何关于勒贝格测度的绝对连续测度，这与约化特征簇情形下存在此类测度的情况形成鲜明对比。
• 作为分支仿射结构holonomy出现的表示集合是特征簇中一个全测度的开子集。
• 表示 $ \tau_\alpha: \mathcal{I}(S) \to \mathrm{PGL}(2g-2, \mathbb{C}) $ 是托里椭群在扭曲上同调上作用导出的投影表示。
• 提出一个猜想：每个严格仿射表示（非单位阵，且角度生成 $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ 的无限子群）都可实现为某个分支仿射结构的holonomy。