[论文解读] Mapping classes associated to mixed-sign Coxeter graphs

Eriko Hironaka|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 47被引用 7

一句话总结

本文引入了混合符号的考克斯eter图，作为经典考克斯eter系统在高亏格曲面上构造具有丰富对称性的周期映射类的推广。通过在边界分量上闭合这些图，作者生成了一系列伪阿诺索夫映射类，其归一化伸展因子收敛于目前已知的最小累积点 γ₀⁴ ≈ 6.8541，证明了该值是可实现的，并通过纤维面理论和双曲链的单值性，为小伸展因子伪阿诺索夫映射提供了构造性框架。

ABSTRACT

We define a generalization of Coxeter graphs and an associated Coxeter system and Coxeter mapping class. These can be used to construct periodic Coxeter mapping classes on surfaces with arbitrarily large genus, preserving lots of symmetries. The periodic mapping classes can in turn be used to construct sequences of pseudo-Anosov mapping classes with bounded normalized dilatation and arbitrarily high genus. We show that the smallest known accumulation point of normalized dilatations can be realized by such a sequence.

研究动机与目标

• 通过广义考克斯eter图在高亏格曲面上构造具有最大对称性的周期映射类。
• 提供一种构造性方法，生成归一化伸展因子有界的伪阿诺索夫映射类序列。
• 将目前已知的最小归一化伸展因子累积点 γ₀⁴ ≈ 6.8541 实现为此类序列的极限。
• 将特定双曲链的单值性与混合符号考克斯eter图所生成的映射类联系起来。
• 证明在偶数亏格曲面上，可定向伪阿诺索夫映射的最小伸展因子可通过此构造实现。

提出的方法

• 将经典考克斯eter图推广为同时包含正负边符号的混合符号考克斯eter图。
• 通过从图导出的胖图结构上反射群的作用，定义考克斯eter映射类。
• 在除三个边界分量外的所有边界分量上闭合曲面，以获得亏格随图参数线性增长的紧致曲面。
• 将所得映射类与双曲链（特别是 6₂² 链补）的单值性联系起来。
• 利用纤维面理论和瑟斯顿范数，分析同调锥内伸展因子的渐近行为。
• 通过链补的阿贝尔多项式与亚历山大多项式，计算同调与几何伸展因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 混合符号考克斯eter图能否用于在任意高亏格曲面上构造具有高度对称性的周期映射类？
• RQ2 由此类图导出的伪阿诺索夫映射类序列的归一化伸展因子的渐近行为如何？
• RQ3 目前已知的最小归一化伸展因子累积点 γ₀⁴ ≈ 6.8541 是否可作为此类序列的极限被实现？
• RQ4 在偶数亏格曲面上，最小伸展因子的可定向伪阿诺索夫映射类是否可通过此方法构造？
• RQ5 6₂² 链及其德恩填充的单值性与所构造曲面上的映射类之间有何关系？

主要发现

• 所构造的伪阿诺索夫映射类 (Sk, φk) 的归一化伸展因子在 k → ∞ 时收敛于 γ₀⁴ ≈ 6.8541。
• 曲面 Sk 的亏格为 3k − 1，随 k 线性增长。
• 当 k 为偶数时，映射类 (Sk, φk) 是可定向的，并实现了偶数亏格闭曲面上可定向伪阿诺索夫映射的猜想最小伸展因子。
• 映射类 (S₂, φ₂) 实现了亏格 g = 5 时的最小伸展因子。
• 几何伸展因子与同调伸展因子分别显式计算为 |x⁶ᵏ − x²ᵏ⁺¹ − x³ᵏ − x³ᵏ⁻¹ + 1| 与 |x⁶ᵏ − x³ᵏ⁺¹ + x³ᵏ − x³ᵏ⁻¹ + 1|。
• 极限 limₖ→∞ λ(φₖ)³ᵏ = (3 + √5)/2 ≈ 2.61803 得到确认，表明其收敛于单极点环面的已知最小归一化伸展因子。