[论文解读] Mapping polygons to the grid with small Hausdorff and Fréchet distance

Quirijn W. Bouts, Irina Kostitsyna+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文提出了将简单多边形 $P$ 映射到网格多边形 $Q$ 的算法，使其 Hausdorff 距离与 Fréchet 距离均保持较小，同时确保拓扑简单性与几何保真度。证明了存在与 $P$ 保持常数 Hausdorff 距离的网格多边形，并表明在合理的输入假设下，常数 Fréchet 距离也可实现，且实用启发式方法可提升输出质量，同时保持距离界限。

ABSTRACT

We show how to represent a simple polygon $P$ by a grid (pixel-based) polygon $Q$ that is simple and whose Hausdorff or Fréchet distance to $P$ is small. For any simple polygon $P$, a grid polygon exists with constant Hausdorff distance between their boundaries and their interiors. Moreover, we show that with a realistic input assumption we can also realize constant Fréchet distance between the boundaries. We present algorithms accompanying these constructions, heuristics to improve their output while keeping the distance bounds, and experiments to assess the output.

研究动机与目标

• 解决将连续多边形形状表示为基于网格的多边形时，保持几何相似性的挑战。
• 确保生成的网格多边形保持简单（非自相交），并维持与原始多边形的小几何距离。
• 在原始多边形与网格多边形之间实现常数 Hausdorff 距离，以及在合理假设下实现常数 Fréchet 距离。
• 开发实用启发式方法，在不违反距离界限的前提下提升输出质量。
• 在包括国家轮廓、建筑与动物在内的多种形状上评估该方法，以应用于地图绘制与益智游戏生成。

提出的方法

• 通过使用保持拓扑结构的舍入策略，将简单多边形 $P$ 的顶点与边投影到整数网格上，构建网格多边形 $Q$。
• 采用一种新颖的构造方法，确保 $P$ 与 $Q$ 之间的 Hausdorff 距离被一个与多边形复杂度无关的常数所限制。
• 引入基于启发式的后处理流水线，通过顶点增加、删除与移动来优化 $Q$，同时保持有界的 Hausdorff 与 Fréchet 距离。
• 使用对称差作为启发式度量，指导在优化过程中选择最优的 $Q_4$ 配置。
• 应用一种合理的输入假设——有界长宽比与最小边长——以实现边界之间常数 Fréchet 距离。
• 在包括真实世界地图与动物轮廓在内的多样化数据集上实现并评估算法，以评估几何保真度与拓扑正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将一个简单多边形映射为一个网格多边形，使得其边界与内部之间的 Hausdorff 距离被一个常数所限制？
• RQ2 在何种几何假设下，可使多边形与其网格表示之间的 Fréchet 距离保持为常数？
• RQ3 后处理启发式方法如何在不增加 Hausdorff 或 Fréchet 距离的前提下，提升网格多边形的视觉与几何质量？
• RQ4 在网格多边形化过程中，几何保真度（以对称差衡量）与拓扑正确性之间存在何种权衡？
• RQ5 在非ogram生成与地图简图等实际应用中，所提出的算法在多大程度上能保持形状特征？

主要发现

• 原始多边形 $P$ 与构造出的网格多边形 $Q$ 之间的 Hausdorff 距离被一个常数所限制，与多边形复杂度无关。
• 在合理的输入假设（最小边长与有界长宽比）下，$P$ 与 $Q$ 边界之间的 Fréchet 距离同样被一个常数所限制。
• 后处理启发式方法（包括增加、删除与移动顶点）平均可将归一化对称差减少 54%，在特定输入（如越南）上最高可减少 116%。
• 用于选择 $Q_4$ 的对称差启发式方法，平均可将归一化对称差减少 17%，在复杂形状（如建筑与动物）上效果尤为显著。
• 平均而言，网格多边形的对称差比最优（但非网格）解高 270%，但通过基于 Fréchet 的优化，该值降低至 197%，表明具有出色的实用性能。
• 该方法成功为多样化输入（包括国家轮廓、建筑轮廓与动物剪影）生成了拓扑简单的网格多边形，且几何失真极小。