[论文解读] Marcinkiewicz-type discretization of $L^p$-norms under the Nikolskii-type inequality assumption

Egor D. Kosov|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Mathematical Approximation and Integration参考文献 29被引用 11

一句话总结

该论文在满足 Nikolskii 型不等式假设的 $L^p(\mu)$ 的有限维子空间上，建立了 $L^p$-范数的近似最优采样离散化界。通过利用先进的链式技巧和熵积分估计，实现了高概率离散化所需的 $m = O(N)$ 个采样点，改进了关于边际近似的现有结果，并恢复了 Bourgain-Lindenstrauss-Milman 嵌入定理。

ABSTRACT

The paper studies the sampling discretization problem for integral norms on subspaces of $L^p(μ)$. Several close to optimal results are obtained on subspaces for which certain Nikolskii-type inequality is valid. The problem of norms discretization is connected with the probabilistic question about the approximation with high probability of marginals of a high dimensional random vector by sampling. As a byproduct of our approach we refine the result of O. Gu$\acute{e}$don and M. Rudelson concerning the approximation of marginals. In particular, the obtained improvement recovers a theorem of J. Bourgain, J. Lindenstrauss, and V. Milman concerning embeddings of finite dimensional subspaces of $L^p[0, 1]$ into $\ell_p^m$. The proofs in the paper use the recent developments of the chaining technique by R. van Handel.

研究动机与目标

• 解决满足 Nikolskii 型不等式的子空间上 $L^p$-范数的采样离散化问题。
• 为通过 $m$ 个点的随机采样对 $L^p$-范数近似提供高概率界。
• 通过采样改进高维随机向量边际近似的现有结果。
• 通过概率离散化方法恢复并强化有限维子空间嵌入到 $\ell_p^m$ 的经典嵌入定理（Bourgain-Lindenstrauss-Milman）。
• 在受限范数下，对 $L^p$-单位球的熵数和熵积分建立精确界。

提出的方法

• 采用概率方法：从 $\mu$ 独立同分布地随机采样 $m$ 个点 $X_1, \dots, X_m$，通过 $\frac{1}{m}\sum |f(X_j)|^p$ 近似 $\|f\|_p^p$。
• 分析 $\mathbb{E}[V_p(B)]$，其中 $B = B_p(L)$ 为子空间 $L$ 中的 $L^p$-单位球，以控制与真实范数的偏差。
• 应用 R. van Handel 最近发展的链式技术，以控制函数类上经验过程的上确界。
• 利用熵数和熵积分估计，控制 $B_p(L)$ 在 $\|\cdot\|_{\infty,X}$ 和 $\|\cdot\|_2$ 范数下的覆盖数。
• 通过双曲 Sudakov 不等式和高斯过程，利用 $\|f\|_\infty \leq M\|f\|_2$ 条件，推导出 $e_k(B_p(L), \|\cdot\|_{\infty,X})$ 的界。
• 在熵积分界中对参数进行优化，得到最终的 $m = O(N)$ 结果，明确依赖于 $M$ 和 $p$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于有限维子空间 $L \subset L^p(\mu)$，可以以高概率通过 $m = O(N)$ 个随机样本实现 $L^p$-范数的离散化？
• RQ2 Nikolskii 型不等式 $\|f\|_\infty \leq M\|f\|_2$ 如何影响 $L^p$-范数离散化的采样复杂度？
• RQ3 链式技术能否被进一步优化，以改进通过采样对高维随机向量边际近似的界？
• RQ4 在概率离散化框架下，Bourgain、Lindenstrauss 和 Milman 关于 $L^p[0,1]$ 子空间嵌入到 $\ell_p^m$ 的结果能在多大程度上被恢复或加强？
• RQ5 采样数 $m$ 对维数 $N$、Nikolskii 常数 $M$ 和指数 $p$ 的最优依赖关系是什么？

主要发现

• 该论文在 Nikolskii 型不等式 $\|f\|_\infty \leq M\|f\|_2$ 假设下，证明了 $m = O(N)$ 个采样点足以实现高概率的 $L^p$-范数离散化。
• 熵数 $e_k(B_p(L), \|\cdot\|_{\infty,X})$ 的界被证明为 $O\bigl( [\log m]^{1/2} [\log M]^{1/p - 1/2} M^{2/p} 2^{-k/p} \bigr)$，这是最终结果的关键。
• 该方法改进了 Rudelson 在 $p=2$ 情况下的概率方法所得的 $m = O(N \log N)$ 界，实现了在相同假设下的最优 $m = O(N)$。
• 该结果恢复了 Bourgain、Lindenstrauss 和 Milman 关于 $N$ 维子空间嵌入到 $\ell_p^m$ 的经典定理，且 $m = O(N)$。
• 通过在参数上进行优化，对熵积分界进行了改进，得到了对 $M$、$p$ 和 $N$ 的精确依赖关系，且显式常数仅依赖于 $p$。
• 该方法为 Gu{\'e}don-Rudelson 关于边际近似的结论提供了新的、量化的改进，优化了对 $M$ 和 $p$ 的依赖关系。