[论文解读] Marked colimits and higher cofinality

Fernando Abellán García|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文引入了∞-双范畴中的标记上极限，通过控制松散性的标记∞-范畴结构，将加权上极限和松散上极限统一起来。它建立了标记上极限的二维普遍性质，并给出了标记∞-范畴之间函子的终性准则，表明通过共纤维化范畴的局部化，标记终函子保持标记上极限。

ABSTRACT

Given a marked $\infty$-category $\mathcal{D}^{\dagger}$ (i.e. an $\infty$-category equipped with a specified collection of morphisms) and a functor $F: \mathcal{D} o \mathbb{B}$ with values in an $\infty$-bicategory, we define $\operatorname{colim}^{\dagger} F$, the marked colimit of $F$. We provide a definition of weighted colimits in $\infty$-bicategories when the indexing diagram is an $\infty$-category and show that they can be computed in terms of marked colimits. In the maximally marked case $\mathcal{D}^{\sharp}$, our construction retrieves the $\infty$-categorical colimit of $F$ in the underlying $\infty$-category $\mathcal{B} \subseteq \mathbb{B}$. In the specific case when $\mathbb{B}=\mathfrak{Cat}_{\infty}$, the $\infty$-bicategory of $\infty$-categories and $\mathcal{D}^{\flat}$ is minimally marked, we recover the definition of lax colimit of Gepner-Haugseng-Nikolaus. We show that a suitable $\infty$-localization of the associated coCartesian fibration $\operatorname{Un}_{\mathcal{D}}(F)$ computes $\operatorname{colim}^{\dagger} F$. Our main theorem is a characterization of those functors of marked $\infty$-categories $f:\mathcal{C}^{\dagger} o \mathcal{D}^{\dagger}$ which are marked cofinal. More precisely, we provide sufficient and necessary criteria for the restriction of diagrams along $f$ to preserve marked colimits.

研究动机与目标

• 通过标记∞-范畴建立∞-双范畴中加权上极限的一般理论。
• 将标记上极限定义为统一框架，可恢复∞-范畴上极限和松散上极限。
• 提供标记终函子的表征，使其保持标记上极限。
• 通过局部化关联共纤维化范畴，将构造与格罗滕迪克构造联系起来。
• 建立标记上极限的二维普遍性质，与高阶范畴普遍构造保持一致。

提出的方法

• 通过在索引∞-范畴中指定的标记态射集合，在∞-双范畴中定义标记上极限为普遍构造。
• 证明当索引图是∞-范畴时，∞-双范畴中的加权上极限可作为标记上极限计算。
• 通过函子F关联的共纤维化范畴的局部化构造标记上极限。
• 利用二维普遍性质表征标记上极限，确保其唯一性及与高阶态射的相容性。
• 通过分析标记∞-范畴之间函子在限制下的行为，建立终性准则。
• 将构造与格罗滕迪克构造联系起来，推广已知的松散上极限和∞-上极限结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地定义并计算∞-双范畴中的加权上极限？
• RQ2 标记上极限在何种意义上同时推广了∞-范畴上极限和松散上极限？
• RQ3 何种条件可确保标记∞-范畴之间的函子保持标记上极限？
• RQ4 与函子关联的共纤维化范畴的局部化如何计算标记上极限？
• RQ5 标记上极限精确满足何种二维普遍性质？

主要发现

• 当标记为最大时（即所有态射均被标记），标记上极限恢复标准的∞-范畴上极限。
• 在∞-范畴的∞-双范畴中，若采用最小标记，标记上极限恢复了Gepner-Haugseng-Nikolaus定义的松散上极限。
• 函子F的标记上极限可通过关联共纤维化范畴Un_D(F)在标记态射处的局部化计算。
• 函子f: C^† → D^†是标记终的，当且仅当它保持标记上极限，提供了必要且充分条件。
• 该构造满足二维普遍性质，使其适用于高阶范畴普遍代数。
• 该理论通过标记∞-范畴的框架，统一并推广了现有关于松散上极限和∞-上极限的结果。