[论文解读] Markov dynamics on the dual object to the infinite-dimensional unitary group

Olshanski Grigori|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 43被引用 5

一句话总结

本文在无限维对偶对象 $\Omega_{\infty} = \widehat{U(\infty)}$ 上构造了一类 Feller 马尔可夫过程，即无限维酉群的极值特征标空间。通过使用互伴算子方法与 $\widehat{U(N)}$ 上的一致马尔可夫链，证明了存在一个连续时间马尔可夫过程，其具有唯一的平稳分布——zw-测度，并表明其无穷维生成元为无穷多个变量上的二阶微分算子。

ABSTRACT

These are notes for a mini-course of 3 lectures given at the St. Petersburg School in Probability and Statistical Physics (June 2012). My aim was to explain, on the example of a particular model, how ideas from the representation theory of big groups can be applied in probabilistic problems. The material is based on the joint paper arXiv:1009.2029 by Alexei Borodin and myself; a broader range of topics is surveyed in the lecture notes by Alexei Borodin and Vadim Gorin arXiv:1212.3351.

研究动机与目标

• 在无限维空间 $\widehat{U(\infty)}$ 上构造一个连续时间马尔可夫过程，即无限维酉群的对偶空间。
• 基于 $\widehat{U(N)}$ 上的一致马尔可夫链，利用互伴算子方法证明此类过程的存在性。
• 将该过程的平稳分布表征为 zw-测度，该测度源于极值特征标链的边界。
• 证明该过程的无穷维生成元为作用于无穷多个变量函数上的二阶微分算子。
• 证明该过程为 Feller 过程，且具有唯一的不变测度——zw-测度，该测度同时为对称化测度。

提出的方法

• 利用 $\widehat{U(N)}$ 上的四参数一致马尔可夫链族 $X^{(z,z',w,w')}_{N}$。
• 应用互伴算子方法，将有限维链提升为无限维空间 $\Omega_{\infty} = \widehat{U(\infty)}$ 上的马尔可夫过程。
• 利用 Edrei–Voiculescu 定理，将边界 $\Omega_{\infty}$ 识别为 $U(\infty)$ 的极值特征标集合。
• 将无穷维过程的生成元导出为作用于适当核上的二阶微分算子 $D^{(z,z',w,w')}_{\infty}$。
• 通过 Dirichlet 型式 $\mathscr{E}(F,G) = \int_{\Omega_{\infty}} \Gamma(F,G) \, dM^{(z,z',w,w')}_{\infty}$ 表达生成元，其中 $\Gamma(F,G)$ 为导数的二次型。
• 依赖于 zw-测度 $M^{(z,z',w,w')}_{\infty}$ 既是平稳测度也是对称化测度，从而确保生成元定义良好且非退化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在作为链 $\widehat{U(N)}$ 边界的无限维空间 $\widehat{U(\infty)}$ 上构造出 Feller 马尔可夫过程？
• RQ2 此类过程的平稳分布结构为何？其与 $U(\infty)$ 表示理论有何关联？
• RQ3 无穷维过程的无穷小生成元能否以微分算子显式描述？
• RQ4 该过程是否为时间连续的？其样本路径是否具有正则性？
• RQ5 该过程能否被解释为确定点过程？其是否继承自 zw-测度的确定性结构？

主要发现

• 在 $\Omega_{\infty} = \widehat{U(\infty)}$ 上存在一族 Feller 马尔可夫过程 $X^{(z,z',w,w')}_{\infty}$，其通过互伴算子方法从 $\widehat{U(N)}$ 上的一致链构造而成。
• 该过程具有唯一的平稳分布 $M^{(z,z',w,w')}_{\infty}$，即源于极值特征标链边界的 zw-测度。
• 无穷小生成元 $D^{(z,z',w,w')}_{\infty}$ 为作用于无穷多个变量函数上的二阶微分算子，其通过 Dirichlet 型式显式描述。
• 平稳测度 $M^{(z,z',w,w')}_{\infty}$ 既是不变测度也是对称化测度，确保生成元非退化，且过程为非确定性过程。
• 由于生成元的二阶性质及平稳测度的非原子性，该过程不会退化为确定性路径。
• 该过程的多时间有限维分布猜想具有确定性结构，与已知的 zw-测度的确定性结构一致。