[论文解读] Markov property of determinantal processes with extended sine, Airy, and Bessel kernels

Makoto Katori, Hideki Tanemura|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 27被引用 21

一句话总结

本文通过在由整函数定义的新拓扑下，将具有扩展正弦核、阿艾里核和贝塞尔核的无限维行列式点过程构造为有限粒子不可碰扩散过程的极限，建立了这些过程的马尔可夫性——这些是随机矩阵理论中的关键对象。关键贡献在于证明了这些过程的马尔可夫性，这些过程关于高斯单位系和手征高斯单位系 ensemble 的体态、软边和硬边标度极限具有可逆性。

ABSTRACT

When the number of particles is finite, the noncolliding Brownian motion (the Dyson model) and the noncolliding squared Bessel process are determinantal diffusion processes for any deterministic initial configuration $ξ=\sum_{j \in Λ} δ_{x_j}$, in the sense that any multitime correlation function is given by a determinant associated with the correlation kernel, which is specified by an entire function $Φ$ having zeros in $\supp ξ$. Using such entire functions $Φ$, we define new topologies called the $Φ$-moderate topologies. Then we construct three infinite-dimensional determinantal processes, as the limits of sequences of determinantal diffusion processes with finite numbers of particles in the sense of finite dimensional distributions in the $Φ$-moderate topologies, so that the probability distributions are continuous with respect to initial configurations $ξ$ with $ξ(\R)=\infty$. We show that our three infinite particle systems are versions of the determinantal processes with the extended sine, Bessel, and Airy kernels, respectively, which are reversible with respect to the determinantal point processes obtained in the bulk scaling limit and the soft-edge scaling limit of the eigenvalue distributions of the Gaussian unitary ensemble, and the hard-edge scaling limit of that of the chiral Gaussian unitary ensemble studied in the random matrix theory. Then Markovianity is proved for the three infinite-dimensional determinantal processes.

研究动机与目标

• 将无限维行列式点过程构造为有限粒子不可碰扩散过程的极限，且对初始配置具有连续依赖性。
• 引入新拓扑，称为 $Φ$-适度拓扑，使用在初始配置支撑集上为零的整函数 $Φ$。
• 证明所得无限系统是具有扩展正弦核、阿艾里核和贝塞尔核的行列式点过程的版本。
• 为这些无限系统建立马尔可夫性，这些系统关于随机矩阵理论中的体态、软边和硬边标度极限具有可逆性。

提出的方法

• 在有限维分布意义下，将无限粒子系统构造为有限粒子行列式扩散过程的极限。
• 通过在初始配置 $ξ$ 的支撑集上为零的整函数 $Φ$，引入 $Φ$-适度拓扑，以确保初始数据的连续性。
• 利用由 $Φ$ 导出的相关核，通过弗雷德霍尔姆行列式定义多时间相关函数。
• 应用克里斯托弗-达布乌公式，并对埃尔米特多项式进行渐近分析，推导出体态、软边和硬边标度极限下的扩展核。
• 通过验证 $Φ$-适度拓扑下样本路径的强马尔可夫性与连续性，建立马尔可夫性。
• 依赖于在适当标度和拓扑下，有限粒子狄松模型收敛到无限系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将具有扩展正弦核、阿艾里核和贝塞尔核的无限维行列式点过程，构造为对初始配置具有连续依赖性的有限粒子不可碰扩散过程的极限？
• RQ2 在由整函数 $Φ$ 定义的 $Φ$-适度拓扑下，所得无限系统是否满足马尔可夫性？
• RQ3 这些无限系统是否等价于随机矩阵理论标度极限中已知的具有扩展核的行列式点过程？
• RQ4 马尔可夫性是否在无限粒子极限中保持，特别是在体态、软边和硬边区域？
• RQ5 在新拓扑下，多时间相关函数的弗雷德霍尔姆行列式表示是否可保持并推广到无限系统？

主要发现

• 具有扩展正弦核、阿艾里核和贝塞尔核的无限维行列式点过程，是在 $Φ$-适度拓扑下作为有限粒子不可碰扩散过程的极限构造的。
• 所构造的过程关于高斯单位系 ensemble 的体态和软边标度极限中出现的行列式点过程，以及手征高斯单位系 ensemble 的硬边极限中出现的行列式点过程，具有可逆性。
• 对所有三个无限系统，严格证明了马尔可夫性，确立了其时间齐次的马尔可夫动力学。
• 扩展正弦核作为狄松模型在体态中的标度极限出现，其相关核由埃尔米特多项式的渐近行为导出。
• 阿艾里核在软边标度极限中出现，此时粒子密度在边缘处趋于零，核由阿艾里函数及其导数表示。
• 贝塞尔核在手征高斯单位系 ensemble 的硬边极限中出现，其核由拉盖尔多项式的渐近性及贝塞尔函数导出。