[论文解读] Markov partition and Thermodynamic Formalism for Hyperbolic Systems with Singularities

Jianyu Chen, Fang Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 45被引用 5

一句话总结

该论文针对具有奇点的二维双曲系统构造了一个可数的马尔可夫划分，利用双曲积集和一个诱导方案，建立了相关系数的指数衰减、中心极限定理以及几何势能的完整遍历理论形式。关键贡献在于构建了一个严格的马尔可夫塔结构，使得尽管相空间因奇点而发生碎片化，仍能获得高级统计性质。

ABSTRACT

For 2-d hyperbolic systems with singularities, statistical properties are rather difficult to establish because of the fragmentation of the phase space by singular curves. In this paper, we construct a Markov partition of the phase space with countable states for a general class of hyperbolic systems with singularities. Stochastic properties with respect to the SRB measure immediately follow from our construction of the Markov partition, including the decay rates of correlations and the central limit theorem. We further establish the thermodynamic formalism for the family of geometric potentials, by using the inducing scheme of hyperbolic type. All the results apply to Sinai dispersing billiards, and their small perturbations due to external forces and nonelastic reflections with kicks and slips.

研究动机与目标

• 为克服双曲系统中因奇点曲线导致的相空间碎片化问题。
• 在标准假设 (H1)–(H5) 下，为一致双曲系统构造一个具有可数个状态的马尔可夫划分。
• 利用所构造的马尔可夫塔结构，推导出高级统计性质，如相关系数的衰减与中心极限定理。
• 通过双曲型诱导方案，将遍历理论形式扩展至几何势能。
• 将结果应用于西蒙尼散射器及其扰动系统，包括外力与非弹性反射的情形。

提出的方法

• 构造一个双曲积集 $\mathcal{R}^*$，作为马尔可夫塔的基础，利用标准对与标准族。
• 在一种特殊的双曲积集——称为“磁体”——上应用耦合引理，以控制返回时间并确保马尔可夫结构。
• 在 $\mathcal{R}^*$ 上使用诱导方案，将系统建模为一个可数的双向马尔可夫移位，从而实现遍历理论形式。
• 应用改进的范数 $\|\cdot\|_*$ 控制不稳定流形上雅可比行列式的增长，确保一致扩张与畸变控制。
• 建立返回 $\mathcal{R}^*$ 时间的指数尾部界，直接蕴含相关系数的指数衰减。
• 通过验证诱导方案上的条件 (P*)，推导出几何势能的遍历理论形式，从而实现压强与平衡态分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在相空间因奇点而碎片化的均匀双曲系统中，构造出具有可数个状态的马尔可夫划分？
• RQ2 此类马尔可夫划分的存在是否意味着对有界分段霍尔德连续可观测量，相关系数呈指数衰减且中心极限定理成立？
• RQ3 能否通过诱导方案将遍历理论形式扩展至具有奇点系统的几何势能？
• RQ4 在小扰动下，如洛伦兹气体模型中的外力或非弹性反射，这些统计性质是否仍然保持？
• RQ5 返回基集 $\mathcal{R}^*$ 的时间是否呈指数分布，从而支持强随机极限？

主要发现

• 通过双曲积集 $\mathcal{R}^*$ 构造了可数马尔可夫划分，确保首次返回映射为马尔可夫映射，并具有返回时间的指数尾部界。
• 对有界分段霍尔德连续可观测量，建立了相关系数的指数衰减，衰减速率由返回时间分布的指数尾部决定。
• 由于指数尾部界与马尔可夫塔结构，有界分段霍尔德连续可观测量的中心极限定理成立。
• 几乎必然不变性原理与几乎必然极限定理作为马尔可夫塔与耦合方法的推论得以证明。
• 针对该系统建立了局部中心极限定理，将经典极限定理推广至奇点情形。
• 通过验证诱导方案上的条件 (P*)，完全发展了几何势能的遍历理论形式，实现了压强与平衡态分析。