[论文解读] Noncolliding processes, matrix-valued processes and determinantal processes

Makoto Katori, Hideki Tanemura|arXiv (Cornell University)|May 4, 2010

Random Matrices and Applications参考文献 57被引用 18

一句话总结

本文引入广义非碰撞扩散过程，涵盖时变非齐次及矩阵值系统，并建立其与行列式点过程和普拉菲安点过程的联系。通过扩展戴森的布朗运动模型并应用广义布吕定理，作者证明了多时间相关函数为行列式或普拉菲安形式，并在N→∞极限下推导出渐近规律，将其与特雷西-温德姆分布及随机矩阵理论相联系。

ABSTRACT

A noncolliding diffusion process is a conditional process of $N$ independent one-dimensional diffusion processes such that the particles never collide with each other. This process realizes an interacting particle system with long-ranged strong repulsive forces acting between any pair of particles. When the individual diffusion process is a one-dimensional Brownian motion, the noncolliding process is equivalent in distribution with the eigenvalue process of an $N imes N$ Hermitian-matrix-valued process, which we call Dyson's model. For any deterministic initial configuration of $N$ particles, distribution of particle positions of the noncolliding Brownian motion on the real line at any fixed time $t >0$ is a determinantal point process. We can prove that the process is determinantal in the sense that the multi-time correlation function for any chosen series of times, which determines joint distributions at these times, is also represented by a determinant. We study the asymptotic behavior of the system, when the number of Brownian motions $N$ in the system tends to infinity. This problem is concerned with the random matrix theory on the asymptotics of eigenvalue distributions, when the matrix size becomes infinity. In the present paper, we introduce a variety of noncolliding diffusion processes by generalizing the noncolliding Brownian motion, some of which are temporally inhomogeneous. We report the results of our research project to construct and study finite and infinite particle systems with long-ranged strong interactions realized by noncolliding processes.

研究动机与目标

• 将非碰撞布朗运动推广至包含时变非齐次及矩阵值扩散过程的更广范畴。
• 建立这些过程的多时间相关函数为行列式或普拉菲安形式，扩展行列式点过程的框架。
• 分析当粒子数N趋于无穷时系统的渐近行为，并将其与随机矩阵理论相联系。
• 通过弗雷德霍尔姆行列式与普拉菲安式，统一已知的各类过程（如戴森模型、贝塞尔过程及广义游走）于同一数学框架之下。
• 通过有限普拉菲安系统在标度极限下的行为，证明无限维普拉菲安过程的存在性。

提出的方法

• 使用卡林-麦格雷戈公式，将非碰撞扩散过程的转移密度表示为一维转移密度的行列式形式。
• 应用布吕定理的广义版本，推导矩阵值扩散过程特征值过程的随机微分方程。
• 利用弗雷德霍尔姆行列式与普拉菲安式刻画非碰撞过程的相关结构，推广行列式点过程框架。
• 利用哈里什-钱德拉/伊茨伊克森-祖伯积分公式及黎曼-刘维尔微分-积分算子，描述广义游走过程中相关核的表达。
• 分析普拉菲安与行列式相关函数在N→∞极限下的行为，推导出普遍的渐近规律，包括特雷西-温德姆分布。
• 通过β=1,2,4的戴森模型，将所得的无限粒子系统与经典随机矩阵系综（GUE、GOE、GSE）及其β-系综相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 非碰撞扩散过程如何从标准布朗运动推广至包含非齐次与矩阵值动力学的更广范畴？
• RQ2 在何种条件下，非碰撞过程的多时间相关函数为行列式或普拉菲安形式？
• RQ3 当粒子数N趋于无穷时，这些过程的渐近行为如何？
• RQ4 广义游走与非碰撞桥的相关核如何与黎曼-刘维尔微分-积分算子等特殊函数相关联？
• RQ5 在N→∞极限下，随机矩阵系综的特征值过程与非碰撞扩散过程之间存在何种联系？

主要发现

• 非碰撞布朗运动在分布上等价于N×N厄米特矩阵值扩散过程的特征值过程，即β=2的戴森模型。
• 对于任意固定的t>0，非碰撞布朗运动的粒子位置分布为行列式点过程，其相关核由卡林-麦格雷戈公式导出。
• 非碰撞过程的多时间联合分布为行列式形式，相关函数可表示为N×N矩阵的弗雷德霍尔姆行列式。
• 时变非齐次的非碰撞布朗运动与非碰撞广义游走为普拉菲安过程，其相关函数可用普拉菲安式表达。
• 在N→∞极限下，对普拉菲安与行列式结构的渐近分析可导出普遍规律，包括最大特征值的特雷西-温德姆分布。
• 广义游走过程的相关核可借助黎曼-刘维尔微分-积分算子表达，从而扩展了可解非碰撞系统类。