[论文解读] Markov traces on affine and cyclotomic Yokonuma-Hecke algebras

Maria Chlouveraki, Loïc Poulain d’Andecy|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 38被引用 8

一句话总结

本文将仿射与循环型Yokonuma–Hecke代数作为Ariki–Koike代数与Yokonuma–Hecke代数的统一推广，构造了线性基，定义了Markov迹，并利用其构造了固圆环中带框架与经典纽结的不变量。关键贡献在于确定了在循环型Yokonuma–Hecke代数上所有参数为零时Markov迹的Schur元。

ABSTRACT

In this article, we define and study the affine and cyclotomic Yokonuma-Hecke algebras. These algebras generalise at the same time the Ariki-Koike and affine Hecke algebras and the Yokonuma-Hecke algebras. We study the representation theory of these algebras and construct several bases for them. We then show how we can define Markov traces on them, which we in turn use to construct invariants for framed and classical knots in the solid torus. Finally, we study the Markov trace with zero parameters on the cyclotomic Yokonuma-Hecke algebras and determine the Schur elements with respect to that trace.

研究动机与目标

• 定义并研究仿射与循环型Yokonuma–Hecke代数作为Ariki–Koike代数与Yokonuma–Hecke代数的统一推广。
• 使用组合与归纳方法发展循环型Yokonuma–Hecke代数的表示理论。
• 为代数${\rm Y}(d,m,n)$构造线性基，并确立Markov迹的存在性。
• 将Markov迹应用于构造固圆环中带框架与经典纽结的不变量。
• 在循环型Yokonuma–Hecke代数上，当所有参数为零时，确定与Markov迹相关的Schur元。

提出的方法

• 将仿射与循环型Yokonuma–Hecke代数${\rm Y}(d,m,n)$定义为半直积辫群群代数的商代数，统一推广了Ariki–Koike代数与Yokonuma–Hecke代数。
• 利用$m$-表格与对称群作用等组合结构，显式构造${\rm Y}(d,m,n)$的线性基。
• 通过从循环型Hecke代数部分扩展迹并利用幂等元分解，定义${\rm Y}(d,m,n)$上的Markov迹。
• 通过将辫子代表元关联到代数元素，利用Markov迹定义固圆环中带框架纽结的不变量。
• 应用同构$\Phi_a$分解幂等元，并通过将代数递归分解为子代数来计算迹值。
• 通过递归应用迹公式并利用子代数中本原幂等元的结构，计算零参数Markov迹的Schur元。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将仿射与循环型Yokonuma–Hecke代数定义为Ariki–Koike代数与Yokonuma–Hecke代数的统一推广？
• RQ2 循环型Yokonuma–Hecke代数${\rm Y}(d,m,n)$的线性基与表示理论是什么？
• RQ3 如何在${\rm Y}(d,m,n)$上一致地定义Markov迹，其性质是什么？
• RQ4 Markov迹如何产生固圆环中带框架与经典纽结的不变量？
• RQ5 在循环型情况下，当所有参数设为零时，与Markov迹相关的Schur元是什么？

主要发现

• 仿射与循环型Yokonuma–Hecke代数${\rm Y}(d,m,n)$统一推广了Ariki–Koike代数${\rm H}(m,n)$与Yokonuma–Hecke代数${\rm Y}(d,n)$，满足${\rm Y}(1,m,n) \cong {\rm H}(m,n)$与${\rm Y}(d,1,n) \cong {\rm Y}(d,n)$。
• 通过$m$-表格与对称群作用构造了${\rm Y}(d,m,n)$的线性基，推广了已知的Ariki–Koike代数与Yokonuma–Hecke代数的基。
• 通过递归分解与幂等元迹定义了${\rm Y}(d,m,n)$上的Markov迹，从而实现了固圆环中带框架纽结不变量的构造。
• 在${\rm Y}(d,m,n)$上零参数Markov迹的Schur元为$\boldsymbol{\tau}(E_{\mathcal{T}}^{\mathrm{p}} E_{\mathcal{T}}^{(1)} \cdots E_{\mathcal{T}}^{(d)}) = \frac{1}{d^n s_{\boldsymbol{\lambda}[1]} s_{\boldsymbol{\lambda}[2]} \cdots s_{\boldsymbol{\lambda}[d]}}$，其中$s_{\boldsymbol{\lambda}[a]}$为子代数的Schur元。
• 在第$a$个块中，本原幂等元$E_{\mathcal{T}}^{\mathrm{p}} E_{\mathcal{T}}^{(a)}$的迹值为$\frac{1}{s_{\boldsymbol{\lambda}[a]}}$，该值被递归用于计算完整迹。
• 该方法依赖于同构$\Phi_a$将代数分解为子代数，并通过$E_{\mathcal{T}}^{\mathrm{p}} x_a$分解中单位元的系数来计算迹。