[论文解读] Martin boundary of a killed random walk on $\Z_+^d$

Irina Ignatiouk-Robert|ArXiv.org|Sep 22, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通过大偏差原理和比值极限定理，建立了当任意坐标变为非正时被吸收的 d 维随机游走的 Martin 边界。它表明，若在方向 $ q $ 上诱导的马尔可夫链具有唯一的正调和函数，则沿方向 $ q $ 发散的序列在 Martin 紧化中是基本的，并完全刻画了笛卡尔积形式的一维随机游走的紧化结构。

ABSTRACT

The Martin compactification is investigated for a d-dimensional random walk which is killed when at least one of it's coordinates becomes zero or negative. The limits of the Martin kernel are represented in terms of the harmonic functions of the associated induced Markov chains. It is shown that any sequence of points x_n with lim_n |x_n| = \infty and lim_n x_n/|x_n|= q is fundamental in the Martin compactification if up to the multiplication by constants, the induced Markov chain corresponding to the direction q has a unique positive harmonic function. The full Martin compactification is obtained for Cartesian products of one-dimensional random walks. The methods involve a ratio limit theorem and a large deviation principle for sample paths of scaled processes leading to the logarithmic asymptotics of the Green function.

研究动机与目标

• 刻画在正象限 $\mathbb{Z}_+^d$ 外部被吸收的 d 维随机游走的 Martin 紧化结构。
• 识别沿方向 $ q $ 发散的序列在 Martin 紧化中为基本序列的条件。
• 将大偏差方法推广至具有广义跳跃的高维随机游走，超越先前研究中使用的椭圆曲线方法。
• 为在原点被吸收的一维随机游走的笛卡尔积提供 Martin 紧化的完整描述。
• 将 Martin 边界结构与边界方向上诱导马尔可夫链的调和函数联系起来。

提出的方法

• 利用比值极限定理分析 $\mathbb{Z}_+^d$ 中发散序列上 Martin 核的极限。
• 应用样本路径大偏差估计，通过势函数推导 Green 函数的对数渐近行为。
• 采用指数测度变换，将原过程转化为对数 Green 函数渐近行为为零的扭曲过程。
• 利用逆测度变换，从扭曲过程的极限中恢复原过程的 Martin 核极限。
• 将问题约化为在极限方向 $ q $ 中消失坐标的低维子空间上诱导的马尔可夫链。
• 依赖于方向 $ q $ 上诱导链具有唯一正调和函数作为基本序列的关键条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，满足 $ \lim_n |x_n| = \infty $ 且 $ \lim_n x_n/|x_n| = q $ 的序列 $ x_n \in \mathbb{Z}_+^d $ 是 $ \mathbb{Z}_+^d $ 上被吸收的随机游走 Martin 紧化中的基本序列？
• RQ2 Martin 核极限如何用方向 $ q $ 上诱导马尔可夫链的调和函数表示？
• RQ3 在一维被吸收随机游走的笛卡尔积情况下，完整的 Martin 紧化是什么？
• RQ4 大偏差原理与比值极限定理如何促进对非齐次、被吸收的随机游走 Martin 边界的分析？
• RQ5 在诱导链上正调和函数的唯一性在决定 Martin 边界结构中起什么作用？

主要发现

• 若在方向 $ q $ 上诱导的马尔可夫链（至多相差常数）具有唯一的正调和函数，则满足 $ \lim_n |x_n| = \infty $ 且 $ \lim_n x_n/|x_n| = q $ 的序列 $ x_n \in \mathbb{Z}_+^d $ 在 Martin 紧化中是基本的。
• Martin 核极限通过在面 $ \{x^i > 0 \text{ for } i \in \Lambda\} $ 上诱导链的调和函数表示，其中 $ \Lambda $ 对应该方向 $ q $ 中满足 $ q^i = 0 $ 的坐标。
• 对于在原点被吸收的一维随机游走的笛卡尔积，完整的 Martin 紧化被显式描述，边界点对应于诱导链的调和函数。
• 被吸收游走的最小调和函数可表示为常数倍的 $ f(u) = \prod_{i \in \Lambda(M)} u^i - \mathbb{E}_u\left( \prod_{i \in \Lambda(M)} S^i(\tau_{\Lambda(M)}) \right) $，其中 $ \tau_{\Lambda(M)} $ 表示从 $ \mathbb{Z}_+^{\Lambda(M)} $ 中退出的时间。
• Green 函数的对数渐近行为由缩放过程的大偏差估计导出，势函数作为速率函数。
• 通过在 $ \mathbb{Z}^m $ 上被吸收的随机游走的稀疏化表示，可将调和函数分析约化为相关面上诱导链的分析。