[论文解读] Martingale-driven approximations of singular stochastic PDEs

Konstantin Matetski|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文提出了一套针对 càdlàg 鞍形鞅的多重随机积分框架，建立了矩界和混沌展开，使得分析可类比于维纳积分。结合 Erhard 和 Hairer 的离散化框架，证明了粒子系统收敛于奇异 SPDE，包括 3D 随机量化方程和 KPZ 方程。

ABSTRACT

We define multiple stochastic integrals with respect to càdlàg martingales and prove moment bounds and chaos expansions, which allow to work with them in a way similar to Wiener stochastic integrals. In combination with the discretization framework of Erhard and Hairer (2017), our results give a tool for proving convergence of interacting particle systems to stochastic PDEs using regularity structures. As examples, we prove convergence of martingale-driven discretizations of the $3$-dimensional stochastic quantization equation and the KPZ equation.

研究动机与目标

• 开发针对 càdlàg 鞍形鞅的多重随机积分的严格微积分工具，将传统上用于布朗运动的工具扩展至非半鞅设定。
• 为这些积分建立矩界和混沌展开，确保其分析可处理性与维纳积分理论类似。
• 通过将新积分框架与正规性结构方法相结合，弥合粒子系统近似与奇异随机 PDE 之间的鸿沟。
• 证明基于鞅驱动的离散化方法可收敛于两类关键奇异 SPDE：3D 随机量化方程和 KPZ 方程。

提出的方法

• 使用 càdlàg 鞍形鞅作为积分器，定义多重随机积分，将伊藤型积分推广至非半鞅设定。
• 推导这些积分的矩界，确保在近似方案中对随机项具有统一控制。
• 建立积分的混沌展开表示，使其可分解为正交分量以利于分析。
• 将新积分框架整合进 Erhard 和 Hairer（2017）的离散化方案中，该方案利用正规性结构处理奇异 SPDE。
• 应用联合框架构建并分析 3D 随机量化方程和 KPZ 方程的粒子系统近似。
• 利用矩界和混沌展开，证明收敛性在概率和分布意义下成立，收敛于目标 SPDE。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为由 càdlàg 鞍形鞅驱动的多重积分发展出类似维纳积分理论的稳健随机微积分？
• RQ2 此类积分的矩界与混沌展开是否能在奇异 SPDE 背景下实现有效分析？
• RQ3 所提出的框架能否确保粒子系统收敛于奇异 SPDE，如 3D 随机量化方程？
• RQ4 KPZ 方程是否可通过该框架下的鞅驱动离散化实现收敛性证明？
• RQ5 鞅积分与正规性结构的结合能否形成统一的奇异 SPDE 近似方法？

主要发现

• 本文成功定义了关于 càdlàg 鞍形鞅的多重随机积分，为非布朗运动随机积分奠定了基础。
• 为这些积分建立了矩界，确保了近似方案中的稳定性和控制性。
• 推导出混沌展开，实现了正交分解，促进了收敛性分析。
• 该框架使在鞅驱动离散化下，相互作用粒子系统收敛于 3D 随机量化方程的证明成为可能。
• 同样，该框架也证明了 KPZ 方程的收敛性，展示了其广泛适用性。
• 通过整合基于鞅的随机微积分，该成果将正规性结构的应用范围扩展至粒子系统近似。