[论文解读] Maslov 0 nearby Lagrangians are homotopy equivalent

Mohammed Abouzaid|arXiv (Cornell University)|May 3, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 2

一句话总结

本文证明了在余切丛中，具有平凡 Maslov 类的闭合精确拉格朗日子流形同伦等价于零截面。通过将 Fukaya 范畴扩展以包含高阶局部系统，并使用基于覆盖的 Fukaya 范畴，作者证明了此类拉格朗日子流形的万有覆叠是平凡的，从而在一般情形下得出同伦等价结果。

ABSTRACT

We prove that the inclusion of every closed exact Lagrangian with vanishing Maslov class in a cotangent bundle is a homotopy equivalence. We start by adapting an idea of Fukaya-Seidel-Smith to prove that such a Lagrangian is equivalent to the zero section in the Fukaya category with integral coefficients. We then study an extension of the Fukaya category in which Lagrangians equipped with local systems of arbitrary dimension are admitted as objects, and prove that this extension is generated, in the appropriate sense, by local systems over a cotangent fibre. Whenever the cotangent bundle is simply connected, this generation statement implies that the universal covering of every closed exact Lagrangian of vanishing Maslov index is trivial. Finally, we borrow ideas from coarse geometry to develop a Fukaya category associated to the universal cover, allowing us to prove the result in the general case.

研究动机与目标

• 建立余切丛中具有平凡 Maslov 类的闭合精确拉格朗日子流形同伦等价于零截面的结果。
• 将 Fukaya 范畴扩展，使其包含任意秩局部系统的拉格朗日子流形作为对象。
• 证明当余切丛单连通时，该扩展范畴由单个余切纤维上的局部系统生成。
• 为处理非单连通情形，提出一种基于覆盖的 Fukaya 范畴。
• 建立此类拉格朗日子流形万有覆叠的平凡性，从而得出主要的同伦等价结果。

提出的方法

• 将 Fukaya–Seidel–Smith 的论证方法加以调整，以证明具有平凡 Maslov 类的闭合精确拉格朗日子流形在整数 Fukaya 范畴中与零截面 quasi-isomorphic。
• 构建一个扩展的 Fukaya 范畴，其中包含任意有限秩局部系统的拉格朗日子流形作为对象。
• 在余切丛单连通的假设下，证明该扩展范畴由单个余切纤维上的局部系统生成。
• 利用生成结果，推导出当环境余切丛单连通时，任意此类拉格朗日子流形的万有覆叠是平凡的。
• 引入与环境流形万有覆叠相关的新型 Fukaya 范畴，以将结果推广至非单连通情形。
• 应用粗几何技术控制万有覆叠中拉格朗日子流形的行为，从而实现一般情形下的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 余切丛中具有平凡 Maslov 类的每个闭合精确拉格朗日子流形是否同伦等价于零截面？
• RQ2 Fukaya 范畴能否以保持生成性质的方式扩展，以包含高阶局部系统？
• RQ3 当环境余切丛单连通时，具有平凡 Maslov 类的闭合精确拉格朗日子流形的万有覆叠是否变为平凡？
• RQ4 如何为辛流形的万有覆叠定义一个 Fukaya 范畴，以处理非单连通情形？
• RQ5 余切纤维上的局部系统在生成扩展 Fukaya 范畴中起什么作用？

主要发现

• 余切丛中具有平凡 Maslov 类的每个闭合精确拉格朗日子流形同伦等价于零截面。
• 当余切丛单连通时，包含高阶局部系统的扩展 Fukaya 范畴由单个余切纤维上的局部系统生成。
• 在单连通情形下，此类拉格朗日子流形的万有覆叠是平凡的。
• 基于覆盖的 Fukaya 范畴的构造使得同伦等价结果可推广至非单连通余切丛。
• 粗几何技术的应用使得能够控制万有覆叠的辛拓扑结构，从而促进一般性证明的实现。