[论文解读] Maslov class rigidity for Lagrangian submanifolds via Hofer's geometry

Ely Kerman, Nil İpek Şirikçi|ArXiv.org|Aug 10, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用 3

一句话总结

该论文利用霍弗几何建立了拉格朗日子流形的Maslov类的新刚性结果，表明具有负曲率度量的可位移拉格朗日积的最小Maslov数有界。通过将哈密顿流的周期轨道与测地线及Conley-Zehnder指标联系起来，证明了最小Maslov数 $N_L$ 满足 $N_L \leq \frac{1}{2}\dim M + 2$，对于可定向拉格朗日子流形，该界可收紧为 $N_L \leq \frac{1}{2}\dim M + 1$。

ABSTRACT

In this work, we establish new rigidity results for the Maslov class of Lagrangian submanifolds in large classes of closed and convex symplectic manifolds. Our main result establishes upper bounds for the minimal Maslov number of displaceable Lagrangian submanifolds which are product manifolds whose factors each admit a metric of negative sectional curvature. Such Lagrangian submanifolds exist in every symplectic manifold of dimension greater than six or equal to four. The proof utilizes the relations between closed geodesics on the Lagrangian, the periodic orbits of geometric Hamiltonian flows supported near the Lagrangian, and the length minimizing properties of these flows with respect to the negative Hofer length functional.

研究动机与目标

• 在不依赖拉格朗日弗洛尔同调或全纯盘的前提下，建立拉格朗日子流形Maslov类的刚性结果。
• 通过使用霍弗长度泛函和哈密顿动力学，将已知的刚性现象扩展至单调或弗洛尔理论设定之外。
• 为具有负截面曲率的流形积构成的可位移拉格朗日子流形的最小Maslov数提供上界。
• 通过Conley-Zehnder指标将拉格朗日子流形的几何性质（如闭测地线）与哈密顿流的谱不变量联系起来。

提出的方法

• 利用西科拉夫的结果：具有可位移紧支集的自治哈密顿流不会在所有时间内最小化霍弗长度。
• 应用霍弗几何中的一个结果：非长度最小化的流具有可缩的周期轨道，其具有满足特定Conley-Zehnder指标上界的支撑盘。
• 分析在可位移拉格朗日子流形附近支持的受扰共测地线流，以检测具有Conley-Zehnder指标 $\frac{1}{2}\dim M$ 的周期轨道。
• 建立一个关键恒等式，将此类轨道的Conley-Zehnder指标与相应受扰测地线的Morse指标及支撑盘的Maslov指标联系起来。
• 利用该恒等式，通过分析作用值和长度泛函，推导出对Maslov类的约束。
• 将该框架应用于积拉格朗日子流形 $L = L_1 \times L_2$，其中 $L_1$ 为分裂双曲型，$L_2$ 无非平凡的可缩测地线，且在 $\pi_1$ 中不可压缩。

实验结果

研究问题

• RQ1 在维度 $\geq 4$ 或 $>6$ 的辛流形中，可位移拉格朗日子流形的最小Maslov数可建立哪些上界？
• RQ2 能否在不使用全纯盘或拉格朗日弗洛尔同调的前提下证明Maslov类的刚性？
• RQ3 拉格朗日子流形上的闭测地线性质如何与哈密顿流的周期轨道及其Conley-Zehnder指标相关联？
• RQ4 当基空间为凸或紧致且拉格朗日子流形为具有负曲率因子的积时，霍弗几何对Maslov类施加了何种约束？
• RQ5 对于可定向且易于位移的拉格朗日积，最小Maslov数能否以环境维度表示上界？

主要发现

• 对于任意可位移的拉格朗日子流形 $L = L_1 \times L_2$，其中 $L_1$ 允许负截面曲率度量，且 $L_2$ 不可压缩且无非平凡可缩测地线，最小Maslov数满足 $N_L \leq \frac{1}{2}\dim M + 2$。
• 若 $L$ 可定向，则该界收紧为 $N_L \leq \frac{1}{2}\dim M + 1$。
• 该证明检测到具有精确Conley-Zehnder指标 $\frac{1}{2}\dim M$ 的非平凡哈密顿流周期轨道，这些轨道与拉格朗日子流形上的受扰测地线相关。
• 最小Maslov数受这些轨道的作用值及霍弗泛函的长度性质约束。
• 该结果适用于所有维度 $\geq 4$ 或 $>6$ 的紧致或凸且有理的辛流形，以及由分裂双曲型与不可压缩因子构成的积拉格朗日子流形。
• 该框架通过避免使用全纯盘技术，转而依赖几何哈密顿动力学与霍弗泛函，规避了余维数一的泡状发散问题。