[论文解读] Mass and Riemannian Polyhedra

Pengzi Miao, Annachiara Piubello|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2021

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文通过证明在渐近平坦流形中，ADM质量等于大黎曼多面体上总平均曲率与总二面角缺陷组合的极限，建立了ADM质量的几何解释。关键结果将质量表达为多面体边界面上和边上的积分，通过多面几何时空将广义相对论与格罗莫夫的数量曲率比较理论联系起来。

ABSTRACT

We show that the concept of the ADM mass in general relativity can be understood as the limit of the total mean curvature plus the total defect of dihedral angle of the boundary of large Riemannian polyhedra. We also express the $n$-dimensional mass as a suitable integral of geometric quantities that determine the $(n-1)$-dimensional mass.

研究动机与目标

• 将广义相对论中的ADM质量与黎曼多面体的几何不变量联系起来。
• 通过多面体 exhausting 方法，将格罗莫夫的数量曲率比较理论推广至渐近平坦流形。
• 基于面的平均曲率与边的二面角缺陷，提出ADM质量的新积分公式。
• 建立一种几何解释，推广三维空间中立方体与球体的已知公式。

提出的方法

• 在渐近平坦流形 (M^n, g) 的坐标图中，使用一列大小不断增加的欧几里得多面体 {P_k}。
• 对面和边的体积增长施加条件，并对二面角的 |sin ᾱ| 施加统一的下界，以确保度量控制。
• 应用度量系数的渐近展开，将 P_k 上的几何量与坐标球面上的量关联起来。
• 推导出ADM质量作为包含面平均曲率 H 的积分与边 (α − ᾱ) 的积分之极限的表达式。
• 依赖于正质量定理以及 Bartnik/Chruściel 关于质量在坐标 exhausting 下的不变性。
• 通过法向量与角度的摄动分析，控制渐近展开中的误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 ADM质量能否表示为渐近平坦流形中多面体边界几何极限的形式？
• RQ2 多面体边界上的平均曲率与二面角缺陷如何与ADM质量相关？
• RQ3 何种条件可确保多面体质量公式收敛至ADM质量？
• RQ4 该公式在 exhausting 序列中对非凸或多类型多面体是否成立？
• RQ5 能否通过在面上和边上积分而非在球面上积分来计算质量？

主要发现

• ADM质量由大黎曼多面体上总平均曲率与总二面角缺陷组合的极限给出：𝔪(g) = 1/((n−1)ω_{n−1}) × [−∫_ℱ H dσ + ∫_ℰ (α − ᾱ) dμ] + o(1)。
• 该公式对任意满足体积增长与二面角条件的多面体序列 {P_k} 成立，包括非凸与混合类型。
• 当坐标立方体或缩放多面体 P_{(r)} 满足 r→∞ 时，公式退化为已知的三维表达式。
• 条件 |sin ᾱ| ≥ c 确保了渐近展开中度量到角度估计的控制。
• 质量公式与正质量定理一致，并满足在坐标 exhausting 下的几何不变性。
• 该结果将 [13] 中的三维公式推广至任意维度 n ≥ 3，并在ADM质量与格罗莫夫的多面体数量曲率比较理论之间建立了桥梁。