[论文解读] Mass deformations of four-dimensional, rank 1, N=2 superconformal field theories

Philip C. Argyres, John R. Wittig|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用 11

一句话总结

本文通过分析其 Seiberg-Witten 曲线的复变形，研究了四维、秩 1、N=2 超共形场论（SCFT）的质量形变。利用 S-duality 和中心电荷约束，排除了某些味对称性嵌入，并预测了 Higgs 分支维数，构建了具有 $G_2$ 全局味对称性的 $E_6$ 共形场论的新 N=2 量子对称质量形变。

ABSTRACT

Turning on N=2 supersymmetry-preserving relevant operators in a 4-dimensional N=2 superconformal field theory (SCFT) corresponds to a complex deformation compatible with the rigid special Kahler geometry encoded in the low energy effective action. Field theoretic consistency arguments indicate that there should be many distinct such relevant deformations of each SCFT fixed point. Some new supersymmetry-preserving complex deformations are constructed of isolated rank 1 SCFTs. We also make predictions for the dimensions of certain Higgs branches for some rank 1 SCFTs.

研究动机与目标

• 系统研究非拉格朗日、无标准规范理论描述的秩 1 N=2 超共形场论（SCFT）的 N=2 量子对称性保持的质量形变。
• 理解在刚性特殊凯勒几何和 Seiberg-Witten 曲线背景下，复变形的代数与几何结构。
• 为孤立 SCFT 构造新的显式质量形变，特别关注具有 $G_2$ 全局味对称性的 $E_6$ 共形曲线。
• 利用强耦合对偶性和中心电荷约束，预测秩 1 SCFT 固定点处 Higgs 分支的维数。
• 利用 S-duality 和表示论，特别是通过中心电荷公式，约束次最大形变 SCFT 中可能的味对称性嵌入。

提出的方法

• 分析秩 1 N=2 SCFT 的 Seiberg-Witten 曲线，其由复模 $u$ 和质量参数 $m_i$ 参数化，曲线方程为 $y^2 = x^3 + f(u, m_i)x + g(u, m_i)$。
• 利用判别式 $\Delta = 4f^3 + 27g^2$ 对奇点及其对 $u$ 和 $m_i$ 的依赖关系进行分类，其中 $\Delta$ 的零点表示无质量 BPS 状态。
• 应用 Kodaira 对椭圆曲线退化行为的分类，识别秩 1 SCFT 可能的尺度不变奇点。
• 利用拉格朗日与强耦合 SCFT 之间的 N=2 S-duality 关系，将一侧的质量形变与另一侧的超多重态结构和全局对称性联系起来。
• 应用中心电荷公式 $Z = \oint_\gamma \lambda_{SW}$，以约束半超多重态的数量及其在全局味对称群下的表示。
• 利用中心电荷 $Z$ 和超多重态数量 $h$ 的约束，排除不一致的味对称性嵌入，特别是在具有 $G_2$ 对称性的 $E_6$ 理论中。

实验结果

研究问题

• RQ1 秩 1 N=2 SCFT 的可能 N=2 量子对称性保持的质量形变有哪些？如何系统地对其进行分类？
• RQ2 能否利用 S-duality 和曲线形变技术，为具有 $G_2$ 全局味对称性的 $E_6$ 共形场论构造新的质量形变？
• RQ3 S-duality 和中心电荷论证对次最大形变 SCFT 中可能的全局味对称性嵌入施加了哪些约束？
• RQ4 如何从 Seiberg-Witten 曲线的结构和 S-duality 关系预测秩 1 SCFT 固定点处 Higgs 分支的维数？
• RQ5 为何 $E_6$ 理论的 $G_2$ 次最大形变因缺乏一个在 $G_2$ 的外尔群下具有 1 维共轭子群的 $\mathop{\mathfrak{su}}(2)$ 子群而被排除？

主要发现

• 为 $E_6$ 共形场论构造了一个新的 N=2 量子对称质量形变，该形变保持了 $G_2$ 全局味对称性。
• $E_6$ 理论的 $G_2$ 次最大形变因在 $G_2$ 的外尔群下不存在具有 1 维共轭子群的 $\mathop{\mathfrak{su}}(2)$ 子群而被排除。
• 中心电荷公式和 S-duality 约束在 $E_6$ 形变中得出四种可能解，当 $p=1$、$I=1$ 时，$Z=5$ 且 $h=2$，排除了 $G_2$ 嵌入。
• 基于中心电荷和超多重态内容，预测具有 $G_2$ 味对称性的 $E_6$ 理论具有维数为 5 的 Higgs 分支。
• 使用 S-duality 对 $\mathop{\mathfrak{su}}(3)$ 与 $\mathbf{3} \oplus \overline{\mathbf{3}} \oplus \mathbf{6} \oplus \overline{\mathbf{6}} \simeq \mathop{\mathfrak{su}}(2)$ 与 $n\cdot\mathbf{2} \oplus \text{SCFT}[3:\mathfrak{h}]$ 来约束可能的 $\mathfrak{h}$ 和 $Z$ 值。
• 分析确认 $E_8$ 理论的 $\mathfrak{h} = \mathop{\mathfrak{sp}}(5)$ 形变具有 $Z=7$ 且 $2h=10$，与 $\mathfrak{sp}(5)$ 的 $\mathbf{10}$ 反实表示一致。