[论文解读] Massively Parallel Symmetry Breaking on Sparse Graphs: MIS and Maximal Matching

Soheil Behnezhad, Mahsa Derakhshan+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 40被引用 12

一句话总结

本论文提出了首个针对稀疏图上最大独立集（MIS）与最大匹配（MM）问题的亚对数轮次、低内存的MPC算法，参数化于树环度α。通过引入一种新颖的可分函数计算原语，并结合基于哈希的迭代度数降低技术，该算法在每台机器使用O(n^ϵ)空间的情况下，实现了O(√log α · log log α + log² log n)轮次，显著优于以往针对平面图或有界亏格图等稀疏图族的结果。

ABSTRACT

The success of modern parallel paradigms such as MapReduce, Hadoop, or Spark, has attracted a significant attention to the Massively Parallel Computation (MPC) model over the past few years, especially on graph problems. In this work, we consider symmetry breaking problems of maximal independent set (MIS) and maximal matching (MM), which are among the most intensively studied problems in distributed/parallel computing, in MPC. These problems are known to admit efficient MPC algorithms if the space per machine is near-linear in $n$, the number of vertices in the graph. This space requirement however, as observed in the literature, is often significantly larger than we can afford; especially when the input graph is sparse. In a sharp contrast, in the truly sublinear regime of $n^{1-Ω(1)}$ space per machine, all the known algorithms take $\log^{Ω(1)} n$ rounds which is considered inefficient. Motivated by this shortcoming, we parametrize our algorithms by the arboricity $α$ of the input graph, which is a well-received measure of its sparsity. We show that both MIS and MM admit $O(\sqrt{\log α}\cdot\log\log α+ \log^2\log n)$ round algorithms using $O(n^ε)$ space per machine for any constant $ε\in (0, 1)$ and using $\widetilde{O}(m)$ total space. Therefore, for the wide range of sparse graphs with small arboricity---such as minor-free graphs, bounded-genus graphs or bounded treewidth graphs---we get an $O(\log^2 \log n)$ round algorithm which exponentially improves prior algorithms. By known reductions, our results also imply a $(1+ε)$-approximation of maximum cardinality matching, a $(2+ε)$-approximation of maximum weighted matching, and a 2-approximation of minimum vertex cover with essentially the same round complexity and memory requirements.

研究动机与目标

• 解决现有MPC算法在真正亚线性空间范围（每台机器O(n^ϵ)）下求解MIS与MM时效率低下的问题，此前方法需要Ω(log n)轮次。
• 克服以往算法依赖近线性空间（Θ(n^{1+δ})）的局限性，该空间在稀疏图中不切实际。
• 设计一种利用图稀疏性（以树环度α度量）实现更快、低内存算法的框架。
• 设计一种通用原语，用于在受限内存下对分布式顶点计算可分函数（例如最小标签、度数、邻居状态等）。
• 为树环度较低的稀疏图族（如平面图或有界树宽图）实现接近常数轮次的复杂度。

提出的方法

• 引入‘可分函数’的概念——即可在局部计算并跨邻居聚合的函数——以支持高效的分布式计算。
• 采用随机哈希方案将顶点数据分布到各机器上，使得每台机器的总度数以高概率有界于O(n^ϵ + Δ^+ log)。
• 通过将机器迭代捆绑为虚拟超机器，减少每顶点涉及的机器数量，从而降低计算本地函数所需的通信次数。
• 利用引理6.1，通过O(log p)个随机位绑定每部分的值之和，确保函数聚合过程中的负载均衡。
• 设计多轮减少过程，每轮将每顶点的机器数（Δ′）减少n^ϵ倍，从而在O(1/ϵ)轮内实现Δ′ = 1。
• 将可分函数原语与对称性破缺技术（如Luby算法）结合，实现O(√log α · log log α + log² log n)轮次内求解MIS与MM。

实验结果

研究问题

• RQ1 当每台机器的存储空间为亚线性（O(n^ϵ)）时，能否在MPC模型中以亚对数轮次求解MIS与MM等对称性破缺问题？
• RQ2 将算法参数化于树环度α是否能为平面图或有界亏格图等稀疏图族带来更快的收敛速度？
• RQ3 能否设计一种通用原语，在低内存约束下对分布式顶点计算本地函数（如最小标签、邻居数量等）？
• RQ4 通过迭代机器捆绑与哈希技术，能否在低内存MPC中消除对最大度Δ的依赖？
• RQ5 在真正亚线性空间范围内，MIS与MM的轮次复杂度如何随树环度α变化？

主要发现

• 本论文在每台机器使用O(n^ϵ)空间、总空间为eO(m)的MPC模型中，实现了MIS与MM的O(√log α · log log α + log² log n)轮次复杂度。
• 对于树环度为常数的图（如平面图、有界树宽图、无小图子式图），轮次复杂度降低至O(log² log n)，相比以往的O(log n)界实现了指数级改进。
• 所提出的算法能高效计算可分函数（如顶点度数、邻居中最小标签、与MIS顶点的邻接关系）——仅需O(1/ϵ)轮次，每台机器使用O(n^ϵ)空间。
• 该框架无需预先知晓树环度α，因此无需参数调优即可适用于一般稀疏图。
• 通过已知归约，相同轮次与空间复杂度可实现最大基数匹配的(1+ϵ)-近似、最大权匹配的(2+ϵ)-近似，以及最小点覆盖的2-近似。
• 该算法的核心原语即使在顶点度数超过机器内存时，也能通过迭代减少每顶点涉及的机器数，高效计算分布式顶点的本地函数。